Równanie x³ − 4x = 0 nie da się rozwiązać deltą ani przenosząc liczby na drugą stronę. Trzeba najpierw rozłożyć wielomian na czynniki, a potem skorzystać z tego, że iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy któryś czynnik jest zerem. W tym wpisie pokazuję pięć sposobów rozkładu wielomianu na czynniki, od najprostszych do schematu Hornera, i rozwiązuję krok po kroku równania wielomianowe.
1Podstawowe pojęcia
Wielomian to suma wyrazów postaci a · xⁿ, gdzie n jest liczbą naturalną. Na przykład W(x) = 2x3 − 5x2 + x − 7. Najwyższa potęga x to stopień wielomianu, tutaj 3. Liczby stojące przy potęgach to współczynniki.
Pierwiastek wielomianu to liczba a, dla której W(a) = 0. Na wykresie to miejsce, w którym wykres przecina oś x. Na przykład 2 jest pierwiastkiem wielomianu x3 − 8, bo 23 − 8 = 0.
Rozłożyć wielomian na czynniki to zapisać go jako iloczyn wielomianów niższego stopnia. Najlepiej do końca, czyli do czynników stopnia pierwszego i kwadratowych, których nie da się już rozłożyć.
2Pięć sposobów rozkładu na czynniki
Sposób 1: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Zawsze zaczynamy od sprawdzenia, czy wszystkie wyrazy mają wspólny czynnik, na przykład x albo liczbę.
Inny przykład: 6x4 − 9x2 = 3x2(2x2 − 3). Wyłączamy największy wspólny czynnik: 3 z liczb i x² z potęg.
Sposób 2: wzory skróconego mnożenia
| Wzór | Przykład |
|---|---|
| a2 − b2 = (a − b)(a + b) | x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) |
| a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 | 4x2 − 12x + 9 = (2x − 3)2 |
| a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) | x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) |
| a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) | x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9) |
Czynniki x² + 2x + 4 i x² − 3x + 9 mają ujemną deltę, więc nie da się ich już rozłożyć. Wzory skróconego mnożenia, wraz z wieloma ćwiczeniami, opisuję w osobnej serii wpisów.
Sposób 3: grupowanie wyrazów
Gdy wielomian ma cztery wyrazy bez wspólnego czynnika, łączymy je w pary tak, żeby w obu parach pojawił się ten sam nawias.
Sposób 4: delta dla trójmianu kwadratowego
Trójmian kwadratowy z dodatnią deltą rozkładamy do postaci iloczynowej a(x − x₁)(x − x₂). Na przykład x2 − 5x + 6 ma pierwiastki 2 i 3, więc x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Gdy Δ < 0, trójmianu nie da się rozłożyć. Szczegóły są we wpisie o miejscach zerowych funkcji kwadratowej.
Sposób 5: pierwiastek całkowity i schemat Hornera
Gdy żaden z powyższych sposobów nie działa, szukamy pierwiastka całkowitego. Twierdzenie mówi, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli liczby bez x.
Wyraz wolny to −6. Jego dzielniki to ±1, ±2, ±3, ±6. Sprawdzamy po kolei: W(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0. Liczba 1 jest pierwiastkiem, więc wielomian dzieli się przez (x − 1).
Dzielimy schematem Hornera. W pierwszym wierszu są współczynniki, po lewej pierwiastek 1. Pierwszy współczynnik przepisujemy w dół. Potem mnożymy go przez 1, wpisujemy wynik pod kolejny współczynnik i dodajemy. Powtarzamy do końca.
| 1 | −6 | 11 | −6 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | −5 | 6 | |
| 1 | −5 | 6 | 0 |
Ostatnia liczba to reszta. Wynosi 0, co potwierdza, że 1 jest pierwiastkiem. Pozostałe liczby 1, −5, 6 to współczynniki ilorazu: x2 − 5x + 6. Ten trójmian rozkładamy jak w sposobie 4.
Na maturze podstawowej zwykle wystarczają sposoby 1–4, a dzielenie wielomianów i schemat Hornera przydają się przede wszystkim na poziomie rozszerzonym. Warto je jednak znać, bo pozwalają rozłożyć wielomian, gdy nic innego nie działa.
Wielomiany mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” cały dział: działania na wielomianach, dzielenie przez dwumian, rozkład na czynniki, pierwiastki i równania wielomianowe, a na koniec zestaw zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, tak jak w tym wpisie.
Zobacz kurs na Udemy3Równania wielomianowe
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem. Dlatego równanie wielomianowe rozwiązujemy tak: przenosimy wszystko na jedną stronę, rozkładamy na czynniki i przyrównujemy każdy czynnik do zera.
Rozkład ze sposobu 1: x(x − 2)(x + 2) = 0. Zatem x = 0 lub x − 2 = 0 lub x + 2 = 0.
Rozkład ze sposobu 3: (x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0.
To równanie dwukwadratowe: występują tylko x⁴ i x². Podstawiamy t = x², gdzie t ≥ 0. Dostajemy równanie kwadratowe t² − 5t + 4 = 0, z którego t = 1 lub t = 4. Wracamy do x: x² = 1, czyli x = ±1, albo x² = 4, czyli x = ±2.
x(x² + 1) = 0. Czynnik x daje x = 0. Czynnik x² + 1 nigdy nie jest zerem, bo x² ≥ 0, więc x² + 1 ≥ 1. To równanie ma tylko jedno rozwiązanie.
4Krotność pierwiastka
Gdy czynnik występuje kilka razy, pierwiastek jest wielokrotny. W wielomianie (x − 2)2(x + 1) liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym, a −1 jednokrotnym. Na wykresie w pierwiastku dwukrotnym wykres dotyka osi x i się od niej odbija, zamiast ją przeciąć.
W równaniu (x − 2)²(x + 1) = 0 zbiorem rozwiązań jest {−1, 2}. Liczby 2 nie wpisujemy dwa razy.
Równanie wielomianowe trzeciego stopnia to częste zadanie otwarte na maturze podstawowej, zwykle za 2 punkty. Prawie zawsze rozwiązuje się je grupowaniem wyrazów albo wyłączaniem wspólnego czynnika, a potem wzorem na różnicę kwadratów. Punkt dostaje się zwykle za poprawny rozkład na czynniki, a drugi za wszystkie rozwiązania. W zadaniach zamkniętych pojawiają się pytania o liczbę pierwiastków albo o pierwiastki podanego iloczynu.
A. dwa rozwiązania
B. trzy rozwiązania
C. cztery rozwiązania
D. jedno rozwiązanie
Rozwiązanie: x − 3 = 0 daje x = 3, x + 1 = 0 daje x = −1, a x² + 4 = 0 nie ma rozwiązań, bo x² + 4 ≥ 4. Odpowiedź A. Odpowiedź C wychodzi po błędnym „rozwiązaniu” x² + 4 = 0 jako x = ±2.
Odpowiedź: x ∈ {−2, 2, 7}. Zapisz rozkład na czynniki krok po kroku, bo za niego jest pierwszy punkt.
5Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to dzielenie równania przez x lub wyrażenie z x, przez co ginie rozwiązanie. Drugi to błąd znaku przy grupowaniu, gdy wyłącza się liczbę ujemną. Trzeci to „rozwiązywanie” x² + 4 = 0 jako x = ±2. Czwarty to w równaniu dwukwadratowym zapomnienie o powrocie od t do x albo przyjęcie ujemnego t. Piąty to niepełny rozkład, na przykład zostawienie x² − 9 bez rozłożenia na (x − 3)(x + 3). Szósty to przy szukaniu pierwiastków całkowitych sprawdzanie liczb, które nie są dzielnikami wyrazu wolnego.
6Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozłóż 2x³ − 18x
2x(x² − 9) = 2x(x − 3)(x + 3)
2. Rozłóż x³ − 1
(x − 1)(x² + x + 1)
3. Rozłóż x³ − 3x² + x − 3
x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1)
4. Rozwiąż x³ = 9x
x(x − 3)(x + 3) = 0, x ∈ {−3, 0, 3}
5. Rozwiąż x³ + 5x² − x − 5 = 0
(x + 5)(x² − 1) = 0, x ∈ {−5, −1, 1}
6. Rozwiąż x⁴ − 10x² + 9 = 0
t = x²: t = 1 lub 9, x ∈ {−3, −1, 1, 3}
7. Rozwiąż x⁴ + 3x² = 0
x²(x² + 3) = 0, x = 0
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” wielomiany mają osobny dział: działania, dzielenie, rozkład na czynniki, pierwiastki i równania, a potem zadania maturalne. Wcześniej są wzory skróconego mnożenia i funkcja kwadratowa, na których rozkład wielomianów się opiera. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Wyrażenia algebraiczne i równaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- WcześniejNierówności kwadratowe krok po kroku
- DalejRównania wymierne
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
