Układ równań to dwa równania z dwiema niewiadomymi, które muszą być spełnione jednocześnie. Takie układy pojawiają się w zadaniach tekstowych, w geometrii analitycznej przy szukaniu punktu przecięcia prostych i w wielu zadaniach maturalnych. W tym wpisie pokazuję trzy metody rozwiązywania: podstawiania, przeciwnych współczynników i graficzną. Wszystkie stosuję najpierw do tego samego układu, żeby było widać, że prowadzą do tego samego wyniku, a potem wyjaśniam, kiedy którą wybrać, kiedy któraś się nie sprawdza i jakie błędy popełnia się najczęściej.
1Co to jest układ równań
Rozwiązaniem układu jest para liczb (x, y), która spełnia oba równania naraz. Para (1, 4) spełnia pierwsze równanie, bo 1 + 4 = 5, ale nie drugie, bo 2 − 4 = −2, a nie 1. Szukamy pary, która pasuje do obu. Zapis z klamrą oznacza właśnie „jedno i drugie jednocześnie”.
2Trzy metody na jednym przykładzie
Rozwiążmy ten sam układ trzema sposobami. Wynik powinien być za każdym razem taki sam.
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy ją do drugiego równania. Zostaje równanie z jedną niewiadomą, które już umiemy rozwiązać.
Dodajemy równania stronami tak, żeby jedna niewiadoma zniknęła. Działa to wtedy, gdy przy tej niewiadomej stoją liczby przeciwne. Tutaj przy y mamy +1 i −1.
Każde z równań to prosta. Przekształcamy je do postaci y = ax + b, rysujemy obie proste i odczytujemy punkt przecięcia. To jest rozwiązanie, bo leży na obu prostych naraz.
Proste przecinają się w punkcie (2, 3).
Sprawdzenie: 2 + 3 = 5 i 2 · 2 − 3 = 1. Oba równania są spełnione.
3Każda metoda tam, gdzie działa najlepiej
Podstawianie: gdy jedna niewiadoma jest już wyznaczona albo stoi przy niej 1
y jest już wyznaczone, więc od razu wstawiamy: 3x + (2x − 1) = 9, czyli 5x = 10, x = 2, a y = 2 · 2 − 1 = 3.
Przeciwne współczynniki: gdy przy niewiadomych stoją różne liczby
Żadna niewiadoma nie ma współczynnika 1, więc podstawianie dałoby ułamki. Zamiast tego mnożymy równania tak, żeby przy y pojawiły się liczby przeciwne: pierwsze przez 3, drugie przez 2.
| · 2→{9x + 6y = 3610x − 6y = 2
Graficzna: gdy trzeba zobaczyć, ile jest rozwiązań, albo gdy wykres jest dany
Metoda graficzna jest świetna do zrozumienia, czym jest rozwiązanie, i do zadań, w których wykres już jest narysowany. Ma jednak słabą stronę: odczyt jest dokładny tylko wtedy, gdy punkt przecięcia ma „ładne” współrzędne. Układ x + y = 1 i 2x − y = 3 ma rozwiązanie x = 4/3, y = −1/3. Z rysunku tego nie odczytasz, więc trzeba policzyć rachunkowo.
Układy równań liniowych mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje dla każdej metody, a potem zadania tekstowe i zadania maturalne. Ta sama umiejętność wraca w geometrii analitycznej i przy funkcji liniowej. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy4Kiedy którą metodę wybrać
| Metoda | Najlepiej, gdy… | Unikaj, gdy… |
|---|---|---|
| podstawiania | jedna niewiadoma jest już wyznaczona (y = …) albo stoi przy niej współczynnik 1 lub −1 | przy żadnej niewiadomej nie ma 1 lub −1, bo pojawią się ułamki i łatwo o błąd |
| przeciwnych współczynników | przy jednej niewiadomej stoją liczby przeciwne albo łatwo je takie zrobić mnożeniem | jedna niewiadoma jest już wyznaczona, bo wtedy podstawianie jest szybsze |
| graficzna | trzeba ustalić liczbę rozwiązań, zinterpretować układ albo wykres jest dany w zadaniu | rozwiązanie może nie być liczbą całkowitą, bo odczyt z rysunku będzie niedokładny |
Na maturze najczęściej sprawdza się metoda przeciwnych współczynników albo podstawiania. Metoda graficzna przydaje się do sprawdzenia wyniku i w zadaniach z rysunkiem.
5Ile rozwiązań może mieć układ
Dwie proste na płaszczyźnie mogą się przeciąć, być równoległe albo się pokrywać. Stąd trzy możliwości:
| Rodzaj układu | Proste | Rachunek kończy się | Rozwiązania |
|---|---|---|---|
| oznaczony | przecinają się | konkretnym x i y | jedna para |
| sprzeczny | są równoległe | fałszem, np. 0 = 3 | brak |
| nieoznaczony | pokrywają się | tożsamością, np. 0 = 0 | nieskończenie wiele |
Mnożymy pierwsze równanie przez −2: −2x − 2y = −4. Dodajemy do drugiego: 0 = 3. To fałsz, więc układ jest sprzeczny. Proste y = −x + 2 i y = −x + 3,5 są równoległe.
Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 3. Po odjęciu wychodzi 0 = 0. Obie proste są tą samą prostą y = −x + 2, więc rozwiązaniem jest każda para (x, 2 − x).
6Zadanie tekstowe
Niech x to liczba biletów normalnych, a y ulgowych. Treść daje dwa równania: jedno o liczbie biletów, drugie o kwocie.
Z pierwszego y = 30 − x, więc wybieramy podstawianie: 20x + 12(30 − x) = 488, czyli 20x + 360 − 12x = 488, 8x = 128, x = 16, a y = 14. Sprawdzenie: 16 + 14 = 30 i 16 · 20 + 14 · 12 = 320 + 168 = 488.
7Najczęstsze błędy
| Metoda | Błąd | Jak go uniknąć |
|---|---|---|
| podstawiania | brak nawiasu przy wstawianiu wyrażenia, np. 2x − 5 − x zamiast 2x − (5 − x) | zawsze wstawiaj wyrażenie w nawiasie |
| podstawiania | policzenie x i zapomnienie o y | odpowiedź to para liczb, wróć po drugą niewiadomą |
| przeciwnych współczynników | pomnożenie tylko lewej strony równania | mnóż każdy wyraz, także po prawej stronie |
| przeciwnych współczynników | dodanie równań, gdy współczynniki są takie same, a nie przeciwne, np. +3y i +3y | przy takich samych odejmuj równania albo pomnóż jedno przez −1 |
| graficzna | niedokładny odczyt, gdy punkt przecięcia ma ułamkowe współrzędne | sprawdź odczytaną parę w obu równaniach albo policz rachunkowo |
| każda | brak sprawdzenia wyniku w obu równaniach | wstaw x i y do obu równań, trwa to kilka sekund |
| każda | uznanie 0 = 3 lub 0 = 0 za błąd w liczeniu | to informacja: układ sprzeczny albo nieoznaczony |
Układy równań liniowych pojawiają się na maturze w zadaniach zamkniętych, gdzie trzeba wskazać rozwiązanie albo liczbę rozwiązań, w zadaniach tekstowych oraz w geometrii analitycznej, gdzie punkt przecięcia dwóch prostych wyznacza się właśnie z układu równań. W zadaniu zamkniętym często najszybciej jest podstawić odpowiedzi do obu równań.
A. x = 4, y = 1
B. x = 1, y = 4
C. x = 3, y = 0
D. x = 4, y = −1
Rozwiązanie: przy y są przeciwne współczynniki, więc dodajemy równania: 3x = 12, x = 4. Z pierwszego: 4 − y = 3, y = 1. Odpowiedź A. Odpowiedź C spełnia tylko pierwsze równanie, a D tylko drugie. Dlatego zawsze sprawdzaj oba.
Rozwiązanie: punkt przecięcia leży na obu prostych, więc rozwiązujemy układ. Oba równania mają wyznaczone y, więc przyrównujemy prawe strony: 2x − 3 = −x + 6, czyli 3x = 9 i x = 3. Wtedy y = 2 · 3 − 3 = 3. Sprawdzenie w drugim równaniu: −3 + 6 = 3. Odpowiedź: (3, 3).
8Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie wybraną metodą, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozwiąż {x + y = 7x − y = 1
dodajemy: 2x = 8, x = 4, y = 3
2. Rozwiąż {y = 3xx + y = 8
podstawiamy: 4x = 8, x = 2, y = 6
3. Rozwiąż {2x + 3y = 134x − 3y = 5
dodajemy: 6x = 18, x = 3, y = 7/3
4. Rozwiąż {2x + y = 44x + 2y = 8
drugie to pierwsze razy 2: nieoznaczony
5. Rozwiąż {x − 2y = 12x − 4y = 5
po pomnożeniu pierwszego przez 2 i odjęciu: 0 = 3, sprzeczny
6. Suma dwóch liczb to 20, a ich różnica 6. Jakie to liczby?
x + y = 20, x − y = 6, czyli 13 i 7
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” układy równań mają osobne lekcje dla metody podstawiania, przeciwnych współczynników i graficznej, a potem zadania tekstowe. Ta sama umiejętność wraca przy funkcji liniowej i w geometrii analitycznej. Każdy dział ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Wyrażenia algebraiczne i równaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- WcześniejNierówności liniowe krok po kroku
- DalejRównania i nierówności z wartością bezwzględną
- Przyda się teżFunkcja liniowa
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
