Równania liniowe to pierwszy rodzaj równań, jaki poznaje się w szkole, i podstawa niemal każdego zadania z treścią. Wygląda to tak: 3x + 5 = 20, a trzeba znaleźć x. W tym wpisie wyjaśniam, na czym polega rozwiązywanie równań, jakie przekształcenia są dozwolone i dlaczego, oraz rozwiązuję krok po kroku równania z nawiasami, ułamkami i ułamkami dziesiętnymi. Pokazuję też, kiedy równanie nie ma rozwiązań, a kiedy ma ich nieskończenie wiele, i jak układać równania do zadań tekstowych.
1Równanie jak waga
Równanie to dwie strony połączone znakiem równości. Można o nim myśleć jak o wadze szalkowej w równowadze: po lewej stronie leżą trzy pudełka o nieznanej masie x i 5 kulek, a po prawej odważnik 20. Rozwiązać równanie to znaleźć x, czyli masę jednego pudełka.
Waga pozostanie w równowadze, jeśli z obu szalek zdejmiemy to samo albo na obie dołożymy to samo. Tak samo z równaniem: można wykonać to samo działanie po obu stronach. Zdejmijmy 5 kulek z obu stron: zostaje 3x = 15. Teraz podzielmy obie szalki na 3 równe części: x = 5.
Rozwiązaniem równania jest liczba, która po wstawieniu zamiast x daje prawdziwą równość. Sprawdzenie: 3 · 5 + 5 = 20. Zgadza się.
2Dozwolone przekształcenia
1. Dodać lub odjąć tę samą liczbę albo to samo wyrażenie.
2. Pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.
Popularne „przenoszenie na drugą stronę ze zmianą znaku” to skrót pierwszej zasady. Gdy w równaniu 3x + 5 = 20 odejmiemy 5 od obu stron, piątka znika z lewej i pojawia się z minusem po prawej: 3x = 20 − 5. Wygląda to tak, jakby przeszła na drugą stronę ze zmienionym znakiem.
1. Pozbądź się ułamków: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik.
2. Opuść nawiasy, uważając na minus przed nawiasem.
3. Wyrazy z x przenieś na jedną stronę, a liczby na drugą.
4. Zredukuj wyrazy podobne po obu stronach.
5. Podziel obie strony przez liczbę stojącą przy x.
6. Sprawdź wynik, wstawiając go do pierwotnego równania.
3Przykłady krok po kroku
Sprawdzenie: lewa strona 25 − 7 = 18, prawa 10 + 8 = 18.
Przy mnożeniu przez 6 pierwszy ułamek daje 3(x + 1), bo 6 : 2 = 3, a drugi 2(x − 2), bo 6 : 3 = 2. Prawa strona też musi być pomnożona: 2 · 6 = 12. Nawiasy są konieczne, bo mnożymy cały licznik.
x można zbierać po dowolnej stronie. Wygodnie jest wybrać tę, po której współczynnik przy x wyjdzie dodatni.
Równania i nierówności liniowe mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje, razem z układami równań i zadaniami tekstowymi. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj, a potem przećwiczone na zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy4Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe?
Po uporządkowaniu każde równanie liniowe sprowadza się do postaci ax = b. Liczba rozwiązań zależy od a i b:
| Przypadek | Rodzaj równania | Przykład po uproszczeniu |
|---|---|---|
| a ≠ 0 | jedno rozwiązanie: x = b/a | 3x = 15, x = 5 |
| a = 0 i b ≠ 0 | sprzeczne: brak rozwiązań | 0x = 5, czyli 0 = 5 |
| a = 0 i b = 0 | tożsamościowe: każda liczba jest rozwiązaniem | 0x = 0, czyli 0 = 0 |
x zniknął, a została nieprawdziwa równość. Żadna liczba nie spełnia równania.
Równość jest prawdziwa dla każdego x. Równanie jest tożsamościowe, a jego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista.
5Zadania tekstowe
W zadaniu tekstowym najważniejsze jest dobre oznaczenie niewiadomej i zapisanie treści jako równania. Potem rozwiązujemy je jak zwykle i sprawdzamy, czy wynik ma sens.
Oznaczmy najmniejszą liczbę przez x. Kolejne to x + 1 i x + 2. Zatem x + (x + 1) + (x + 2) = 72, czyli 3x + 3 = 72, 3x = 69 i x = 23.
Niech córka ma x lat, a mama 3x. Za 10 lat córka będzie miała x + 10, a mama 3x + 10, i będzie to dwa razy więcej: 3x + 10 = 2(x + 10). Rozwiązujemy: 3x + 10 = 2x + 20, więc x = 10. Sprawdzenie: córka 10, mama 30; za 10 lat 20 i 40, a 40 = 2 · 20.
Niech x to cena przed obniżką. Po obniżce o 20% zostaje 80% ceny: 0,8x = 256, więc x = 256 : 0,8 = 320 zł. To zadanie z wpisu o obniżkach procentowych, zapisane jako równanie.
Równania liniowe są na maturze podstawą wielu zadań: od zadań zamkniętych, w których trzeba wskazać rozwiązanie, przez zadania tekstowe, po geometrię analityczną i ciągi, gdzie po drodze rozwiązuje się proste równanie. W zadaniach zamkniętych często wystarczy podstawić odpowiedzi do równania i sprawdzić, która pasuje.
A. 1
B. −1
C. 2
D. 43
Odpowiedź A. Sprawdzenie: 3 · (2 − 1) = 3 i 1 + 2 = 3.
Odpowiedź: x = 19/5. W zadaniu otwartym zapisz każdy krok. Mnożenie przez wspólny mianownik i opuszczenie nawiasów z minusem to miejsca, w których egzaminator sprawdza tok rozumowania.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zła zmiana znaków przy minusie przed nawiasem. Drugi to przy mnożeniu przez wspólny mianownik pomnożenie tylko ułamków, a pominięcie wyrazów bez ułamka, na przykład prawej strony. Trzeci to brak nawiasu wokół licznika przy mnożeniu, na przykład 3x + 1 zamiast 3(x + 1). Czwarty to przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę niezmienianie jego znaku. Piąty to dzielenie przez współczynnik ze złym znakiem: z −3x = 12 wychodzi x = −4, a nie 4. Szósty to brak sprawdzenia, które w kilka sekund wyłapuje każdą pomyłkę.
7Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozwiąż 4x − 9 = 11
x = 5
2. Rozwiąż 7 − 2x = x + 1
6 = 3x, x = 2
3. Rozwiąż 2(x + 3) = 5x − 9
2x + 6 = 5x − 9, 15 = 3x, x = 5
4. Rozwiąż 5 − (2x − 3) = 4
5 − 2x + 3 = 4, x = 2
5. Rozwiąż x/3 + x/2 = 10
· 6: 2x + 3x = 60, x = 12
6. Rozwiąż 0,3x − 2 = 0,1x + 0,4
· 10: 3x − 20 = x + 4, x = 12
7. Rozwiąż 4(x − 1) = 4x − 4
tożsamościowe, x ∈ ℝ
8. Rozwiąż x + 5 = x − 1
sprzeczne, brak rozwiązań
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” równania i nierówności liniowe, układy równań i zadania tekstowe mają osobne lekcje, a potem wracają w funkcji liniowej, kwadratowej, ciągach i geometrii analitycznej. Każdy dział ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Wyrażenia algebraiczne i równaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- WcześniejCzy wielomian stopnia zerowego jest wielomianem zerowym?
- DalejNierówności liniowe krok po kroku
- Przyda się teżFunkcja liniowa
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
