Liczby pierwsze to „cegiełki”, z których przez mnożenie można zbudować każdą liczbę naturalną większą od 1. Przydają się przy skracaniu ułamków, szukaniu wspólnego mianownika, NWD i NWW, a także w zadaniach maturalnych z liczb. W tym wpisie wyjaśniam, czym są liczby pierwsze i złożone, jak szybko sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, i jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze krok po kroku.
1Definicje
Liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Na przykład 7 dzieli się tylko przez 1 i przez 7.
Liczba złożonaLiczba naturalna, która ma więcej niż dwa dzielniki. Na przykład 12 dzieli się przez 1, 2, 3, 4, 6 i 12.
| Liczba | Dzielniki | Rodzaj |
|---|---|---|
| 0 | każda liczba naturalna dodatnia | ani pierwsza, ani złożona |
| 1 | 1 | ani pierwsza, ani złożona |
| 2 | 1, 2 | pierwsza |
| 3 | 1, 3 | pierwsza |
| 4 | 1, 2, 4 | złożona |
| 5 | 1, 5 | pierwsza |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | złożona |
| 7 | 1, 7 | pierwsza |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | złożona |
| 9 | 1, 3, 9 | złożona |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | złożona |
| 11 | 1, 11 | pierwsza |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | złożona |
2Sito Eratostenesa: liczby pierwsze do 100
Starożytny matematyk Eratostenes wymyślił prosty sposób na znalezienie wszystkich liczb pierwszych. Wypisujemy liczby od 2 do 100. Bierzemy 2 i skreślamy wszystkie jej wielokrotności: 4, 6, 8… Potem bierzemy kolejną nieskreśloną liczbę, czyli 3, i skreślamy jej wielokrotności. Potem 5, potem 7. Wszystko, co zostało nieskreślone, to liczby pierwsze.
7 pierwsza 8 złożona (skreślona) 1 ani taka, ani taka
Wystarczy skreślać wielokrotności 2, 3, 5 i 7, bo 11 · 11 = 121 to już więcej niż 100. Każda liczba złożona do 100 ma dzielnik nie większy niż 10.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Pierwsze kilka, czyli 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29, warto znać na pamięć. Pozostałe łatwo sprawdzić sposobem z następnego punktu.
3Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza
Dziel liczbę n po kolei przez liczby pierwsze 2, 3, 5, 7, 11… Wystarczy sprawdzić te, których kwadrat nie przekracza n. Jeśli żadna nie dzieli n, to n jest liczbą pierwszą.
Dlaczego wystarczy dojść do √n? Jeśli n = a · b, to jeden z czynników musi być nie większy niż √n. Gdyby oba były większe, ich iloczyn byłby większy od n.
√97 jest trochę mniej niż 10, bo 10² = 100. Sprawdzamy więc liczby pierwsze 2, 3, 5 i 7. 97 jest nieparzysta, więc nie dzieli się przez 2. Suma cyfr to 16, więc nie dzieli się przez 3. Nie kończy się na 0 ani 5, więc nie dzieli się przez 5. 97 : 7 = 13, reszta 6. Żadna nie dzieli 97.
Wygląda na pierwszą: jest nieparzysta, suma cyfr 10 nie dzieli się przez 3, nie kończy się na 5. Ale 91 : 7 = 13, bo 7 · 13 = 91.
| Liczba dzieli się przez | gdy | Przykład |
|---|---|---|
| 2 | ostatnia cyfra jest parzysta | 58 |
| 3 | suma cyfr dzieli się przez 3 | 87: 8 + 7 = 15 |
| 5 | ostatnia cyfra to 0 lub 5 | 235 |
| 7 | trzeba sprawdzić dzieleniem | 91 : 7 = 13 |
| 11 | różnica sum cyfr na miejscach parzystych i nieparzystych dzieli się przez 11 | 121: 1 − 2 + 1 = 0 |
Liczby pierwsze, złożone, parzyste i nieparzyste omawiam w pierwszej lekcji mojego kursu „Matematyka od podstaw do matury”, razem ze zbiorami liczbowymi. Te umiejętności wracają potem przy ułamkach, skracaniu wyrażeń i w zadaniach maturalnych z liczb rzeczywistych.
Zobacz kurs na Udemy4Rozkład na czynniki pierwsze
Każdą liczbę złożoną da się zapisać jako iloczyn liczb pierwszych i to tylko na jeden sposób, jeśli nie liczyć kolejności czynników. Taki zapis to rozkład na czynniki pierwsze. Najwygodniej robić go „w kolumnie”: po lewej piszemy liczbę, po prawej najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą się dzieli, a pod spodem wynik dzielenia. Powtarzamy, aż zostanie 1.
360 jest parzysta: 360 : 2 = 180.
180 : 2 = 90, a 90 : 2 = 45.
45 jest nieparzysta, ale suma cyfr 9 dzieli się przez 3: 45 : 3 = 15, potem 15 : 3 = 5.
5 to liczba pierwsza: 5 : 5 = 1. Koniec.
Czynniki to liczby z prawej kolumny. Powtarzające się czynniki zapisujemy jako potęgi:
Sprawdzenie: 8 · 9 · 5 = 72 · 5 = 360. Zgadza się.
| Liczba | Rozkład |
|---|---|
| 84 | 22 · 3 · 7 |
| 100 | 22 · 52 |
| 126 | 2 · 32 · 7 |
| 210 | 2 · 3 · 5 · 7 |
| 1001 | 7 · 11 · 13 |
| 1024 | 210 |
Można też rozkładać „drzewkiem”, zaczynając od dowolnego rozbicia, na przykład 360 = 36 · 10 = (6 · 6) · (2 · 5) = 2 · 3 · 2 · 3 · 2 · 5. Wynik zawsze wychodzi ten sam.
5Do czego przydaje się rozkład: NWD i NWW
Rozkład na czynniki pierwsze to najszybszy sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) dwóch liczb.
NWD: bierzemy czynniki wspólne dla obu liczb, każdy w najmniejszej potędze, w jakiej występuje.
NWW: bierzemy wszystkie czynniki, które występują w którejkolwiek liczbie, każdy w największej potędze.
Wspólne czynniki to 2 i 3. Dwójka występuje najmniej w potędze 2, a trójka w potędze 1. NWD = 2² · 3 = 12. Do NWW bierzemy 2³, 3, 5 i 7: NWW = 8 · 3 · 5 · 7 = 840.
Przydaje się to od razu przy ułamkach: 84120 = 84 : 12120 : 12 = 710, bo skracamy przez NWD. A NWW to najmniejszy wspólny mianownik, na przykład dla 1/84 i 1/120 jest nim 840.
6Ciekawostki
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Udowodnił to już Euklides ponad 2000 lat temu: gdyby była ostatnia liczba pierwsza, można by pomnożyć wszystkie liczby pierwsze i dodać 1, a taka liczba nie dzieliłaby się przez żadną z nich. Pary liczb pierwszych różniących się o 2, takie jak 11 i 13 albo 17 i 19, nazywa się liczbami bliźniaczymi.
Liczby pierwsze chronią też twoje dane w internecie. Popularne metody szyfrowania opierają się na tym, że pomnożenie dwóch bardzo dużych liczb pierwszych jest łatwe, a rozłożenie wyniku z powrotem na czynniki jest dla komputerów niezwykle trudne.
Liczby pierwsze i rozkład na czynniki pojawiają się na maturze w zadaniach z działu liczb rzeczywistych: trzeba wskazać liczbę pierwszą wśród podanych, rozłożyć liczbę na czynniki, wyznaczyć NWD albo NWW lub uprościć wyrażenie z potęgami. Rozkład na czynniki pomaga też przy upraszczaniu pierwiastków, na przykład √360 = √(2² · 3² · 10) = 6√10.
A. 51
B. 57
C. 87
D. 89
Rozwiązanie: sumy cyfr 51, 57 i 87 to 6, 12 i 15, czyli dzielą się przez 3, więc te liczby też dzielą się przez 3: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 87 = 3 · 29. Liczba 89 nie dzieli się przez 2, 3, 5 ani 7, a 10² = 100 > 89, więc dalej sprawdzać nie trzeba. Odpowiedź D.
Rozwiązanie: 126 = 2 · 3² · 7 oraz 180 = 2² · 3² · 5. Wspólne czynniki to 2 (najmniejsza potęga: 1) i 3 (najmniejsza potęga: 2). NWD = 2 · 3² = 18. Odpowiedź: NWD(126, 180) = 18. Sprawdzenie: 126 : 18 = 7 i 180 : 18 = 10, a 7 i 10 nie mają już wspólnych dzielników.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to uznanie 1 za liczbę pierwszą. Drugi to przekonanie, że wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste, choć 2 jest pierwsza. Trzeci to uznanie za pierwsze liczb takich jak 51, 57, 87 czy 91 bez sprawdzenia dzielenia przez 3 i 7. Czwarty to sprawdzanie dzielników dużo dalej niż do √n, co tylko marnuje czas. Piąty to niedokończony rozkład, w którym zostaje liczba złożona, na przykład 360 = 2³ · 45. Szósty to pomylenie zasad: przy NWD bierzemy najmniejsze potęgi wspólnych czynników, a przy NWW największe potęgi wszystkich.
8Sprawdź się
Odpowiedz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Czy 29 jest liczbą pierwszą?
tak, nie dzieli się przez 2, 3 ani 5, a 6² = 36 > 29
2. Czy 93 jest liczbą pierwszą?
nie, 9 + 3 = 12, więc 93 = 3 · 31
3. Czy 1 jest liczbą pierwszą?
nie, ma tylko jeden dzielnik
4. Rozłóż 72 na czynniki pierwsze.
72 = 2³ · 3²
5. Rozłóż 150 na czynniki pierwsze.
150 = 2 · 3 · 5²
6. Wyznacz NWD(48, 60).
48 = 2⁴ · 3, 60 = 2² · 3 · 5, więc NWD = 2² · 3 = 12
7. Wyznacz NWW(12, 18).
12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², więc NWW = 2² · 3² = 36
8. Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 20?
8: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Kurs wideo „Matematyka od podstaw do matury” zaczyna od liczb: naturalnych, całkowitych, pierwszych, złożonych, wymiernych i niewymiernych, a potem przechodzi przez ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy, funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Każdy dział ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Liczby i działaniaLiczby naturalne w matematyce
- WcześniejCechy podzielności liczb przez 5 lub 10.
- DalejNWD i NWW – jak obliczyć i kiedy którego użyć
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
