Ile to jest 2 + 3 · 4? Jeśli liczysz od lewej, wychodzi 20. Jeśli najpierw mnożysz, wychodzi 14. Poprawna odpowiedź to 14, bo w matematyce obowiązuje ustalona kolejność wykonywania działań. Dzięki niej każdy, kto liczy to samo wyrażenie, dostaje ten sam wynik. W tym wpisie wyjaśniam tę kolejność krok po kroku, pokazuję pułapki z minusami, potęgami i ułamkami oraz rozwiązuję przykłady, w których w każdym kroku widać, które działanie wykonujemy.
1Kolejność działań
Najpierw wykonujemy działania z wyższego poziomu, a gdy ich zabraknie, schodzimy niżej. Działania z tego samego poziomu wykonujemy po kolei od lewej strony.
Dlaczego mnożenie przed dodawaniem?
Mnożenie to skrócony zapis dodawania: 3 · 4 to 4 + 4 + 4. Gdy piszemy 2 + 3 · 4, mamy na myśli 2 + (4 + 4 + 4), czyli 14. Tak samo potęga to skrócony zapis mnożenia, więc ma pierwszeństwo przed mnożeniem. Ta umowa sprawia, że wyrażenia można zapisywać krócej, bez stawiania nawiasów wszędzie.
2Działania równorzędne: od lewej do prawej
Mnożenie i dzielenie są na tym samym poziomie. Nie jest tak, że mnożenie zawsze idzie przed dzieleniem. Wykonujemy je po kolei, w takiej kolejności, w jakiej stoją od lewej. Tak samo jest z dodawaniem i odejmowaniem.
3Nawiasy wielopoziomowe
Gdy nawiasy są jeden w drugim, zaczynamy od najbardziej wewnętrznego. Żeby było widać, który nawias jest który, używa się różnych kształtów: okrągłych ( ), kwadratowych [ ] i klamrowych { }.
4Pułapki z potęgami i minusem
Potęga dotyczy tylko tego, co stoi bezpośrednio pod nią. Jeśli chcemy podnieść do potęgi liczbę ujemną albo całe wyrażenie, trzeba je wziąć w nawias.
| Wyrażenie | Co jest podnoszone do potęgi | Wynik |
|---|---|---|
| −32 | tylko 3, a minus stoi przed wynikiem: −(3 · 3) | −9 |
| (−3)2 | cała liczba −3: (−3) · (−3) | 9 |
| 2 · 32 | tylko 3, potem mnożenie: 2 · 9 | 18 |
| (2 · 3)2 | cały iloczyn: 6² | 36 |
| 2 + 32 | tylko 3: 2 + 9 | 11 |
| (2 + 3)2 | cała suma: 5² | 25 |
5Ukryte nawiasy: kreska ułamkowa i pierwiastek
Kreska ułamkowa działa jak nawias wokół licznika i wokół mianownika. Najpierw liczymy całą górę i cały dół, a dopiero potem dzielimy.
Podobnie pierwiastek obejmuje wszystko, co stoi pod jego kreską: √(16 + 9) = √25 = 5, a nie √16 + √9 = 7.
Kolejność wykonywania działań jest podstawą pierwszego działu mojego kursu „Matematyka od podstaw do matury”: liczb, ułamków, potęg i pierwiastków. Każdy z tych tematów ma osobne lekcje z przykładami krok po kroku, a potem zestaw zadań maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy6Przykłady krok po kroku
W każdym kroku pomarańczowym tłem zaznaczone jest działanie, które właśnie wykonujemy.
Gdyby dodać najpierw, wyszłoby (5/6) · (3/4) = 5/8, czyli zły wynik.
7A co z kalkulatorem?
Kalkulatory naukowe, także te w telefonie po obróceniu go poziomo, stosują poprawną kolejność działań. Proste kalkulatory czterodziałaniowe często liczą od lewej do prawej, po każdym naciśnięciu klawisza, i dla 2 + 3 × 4 pokażą 20. Dlatego nie warto ufać kalkulatorowi bez zrozumienia, jak liczy, a przy złożonych wyrażeniach lepiej wpisywać nawiasy samodzielnie.
Kolejność działań nie jest osobnym działem matury, ale błąd w niej to jeden z najczęstszych powodów złej odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z liczb rzeczywistych, potęg i ułamków. Autorzy zadań chętnie wpisują do odpowiedzi właśnie te wyniki, które wychodzą przy złej kolejności, więc warto liczyć powoli i zapisywać każdy krok.
A. 2
B. 10
C. −10
D. 14
Odpowiedź A. Odpowiedź D wychodzi, gdy zamiast (−2)² = 4 policzy się −2² = −4. Odpowiedź C wychodzi przy liczeniu od lewej do prawej po kolei.
Odpowiedź: −8. W zadaniu otwartym zapisuj każdy krok w osobnej linii, tak jak tutaj. Łatwiej wtedy znaleźć ewentualny błąd, a egzaminator widzi tok rozumowania.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to liczenie wszystkiego od lewej do prawej, bez pierwszeństwa mnożenia. Drugi to wykonywanie mnożenia zawsze przed dzieleniem, choć są równorzędne. Trzeci to −3² = 9 zamiast −9. Czwarty to ignorowanie kreski ułamkowej i pierwiastka jako „ukrytego nawiasu”. Piąty to błędy znaków przy odejmowaniu liczb ujemnych: 5 − (−3) to 8, a nie 2. Szósty to liczenie kilku kroków naraz w pamięci, przez co łatwo coś pominąć.
9Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz 5 + 4 · 3
5 + 12 = 17
2. Oblicz 20 − 8 : 2 · 3
20 − 4 · 3 = 20 − 12 = 8
3. Oblicz (6 − 2) · (3 + 1)
4 · 4 = 16
4. Oblicz 2 · 52
2 · 25 = 50
5. Oblicz −42 + 10
−16 + 10 = −6
6. Oblicz 100 : (2 + 3) · 2
100 : 5 · 2 = 20 · 2 = 40
7. Oblicz 3 · [10 − (2 + 1)2]
3 · [10 − 9] = 3
8. Oblicz 8 + 45 − 2 + 1
12/3 + 1 = 4 + 1 = 5
Kurs wideo „Matematyka od podstaw do matury” zaczyna od liczb, ułamków, potęg i pierwiastków, czyli od wszystkiego, w czym kolejność działań ma znaczenie, a potem przechodzi przez procenty, logarytmy, funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Każdy dział ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Liczby i działaniaLiczby naturalne w matematyce
- WcześniejWartość bezwzględna – definicja i oś liczbowa
- DalejZaokrąglanie liczb z podaną dokładnością
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
