✦ Matura 2026: kurs od podstaw do pełnych zadań Dołącz →
Wzory redukcyjne, podobnie jak wzory skróconego mnożenia, to coś, z czym w szkole po prostu trzeba się zmierzyć. Niby mają ułatwiać robotę, ale na pierwszy rzut oka wyglądają jak długa lista do wkucia. Dziś przejdziesz ze mną przez ten temat tak, żeby zamiast wkuwać, rozumieć, skąd się biorą. Najłatwiej wyobrazić je sobie w układzie współrzędnych.
Wzory redukcyjne pozwalają zamienić funkcję trygonometryczną dowolnego kąta na funkcję kąta ostrego, czyli takiego, którego wartości znasz z tabelki: 30°, 45°, 60°. Dzięki nim policzysz na przykład sin 150° albo cos 240° bez kalkulatora.
Żeby zrozumieć wzory redukcyjne, musisz wiedzieć, czym są sinus, cosinus, tangens i cotangens. Bez tego nie ruszysz dalej. Jeśli nadal masz z tym problem, zajrzyj najpierw do wpisu „Sinus, cosinus, tangens, cotangens + zadania różne”.
Spójrz na układ współrzędnych i weź punkty A = (3, 4) oraz B = (4, 3).
Teraz stworzymy prostokąty wraz z przekątnymi: jeden między osiami układu a punktem A, drugi między osiami a punktem B.
Zauważ, że prostokąt, który powstał między osiami a punktem A, to ten sam prostokąt, który powstał przy punkcie B, tylko obrócony. Jeden ma wymiary 3 na 4, a drugi 4 na 3.
Zaznaczamy wszędzie kąty α i β, czyli kąty między osią x a przekątnymi poprowadzonymi do punktów A i B.
Przekątne obu prostokątów mają tę samą długość: √(3² + 4²) = √25 = 5. Policzmy funkcje obu kątów:
| Kąt α (punkt A = (3, 4)) | Kąt β (punkt B = (4, 3)) | |
|---|---|---|
| sinus | 45 | 35 |
| cosinus | 35 | 45 |
| tangens | 43 | 34 |
Sinus α to dokładnie cosinus β, a cosinus α to sinus β. Punkty A i B są swoimi lustrzanymi odbiciami względem prostej y = x, więc kąty α i β razem dają 90°, czyli β = 90° − α.
Na filmie poniżej pokazuję to dokładniej, a także jak ten sam wzór wyprowadzić inaczej, za pomocą trójkąta prostokątnego.
Żeby mówić o sinusie kąta 150° czy 240°, potrzebujemy definicji, która działa nie tylko dla kątów ostrych w trójkącie. Do tego służy promień wodzący.
Odcinek łączący punkt P = (x, y) z początkiem układu współrzędnych nazywamy promieniem wodzącym punktu P. Jego długość to r = |OP| = √(x² + y²). Kąt α odmierzamy od dodatniej części osi x przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a punkt P leży na końcowym ramieniu tego kąta.
Sinusem dowolnego kąta α nazywamy stosunek rzędnej (czyli y) dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Cosinusem nazywamy stosunek odciętej (czyli x) do długości promienia wodzącego. Tangensem nazywamy stosunek rzędnej do odciętej, a cotangensem stosunek odciętej do rzędnej.
Tangens nie istnieje, gdy x = 0, a cotangens nie istnieje, gdy y = 0, bo nie dzielimy przez zero.
Dla kąta ostrego te definicje dają dokładnie to samo co szkolne definicje w trójkącie prostokątnym: y to przyprostokątna naprzeciw kąta, x to przyprostokątna przy kącie, a r to przeciwprostokątna.
Znak wyniku zależy od tego, w której ćwiartce leży końcowe ramię kąta. Wynika to wprost z definicji. Promień wodzący r jest zawsze dodatni, więc znak sinusa zależy tylko od y, znak cosinusa tylko od x, a znak tangensa i cotangensa od tego, czy x i y mają ten sam znak.
| Ćwiartka | Kąty | x | y | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | + | + | + | + | + | + |
| II | 90°–180° | − | + | + | − | − | − |
| III | 180°–270° | − | − | − | − | + | + |
| IV | 270°–360° | + | − | − | + | − | − |
W pierwszej ćwiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.
Wierszyk mówi, które funkcje są w danej ćwiartce dodatnie. Pozostałe są ujemne.
Pełna tabela wzorów redukcyjnych jest długa, ale wszystkie wzory działają według jednej reguły. Zadajesz sobie dwa pytania.
1. Czy zmienia się nazwa funkcji? Jeśli w nawiasie jest 90° albo 270°, nazwa się zmienia: sin na cos, cos na sin, tg na ctg, ctg na tg. Jeśli jest 180° albo 360°, nazwa zostaje ta sama. Łatwo zapamiętać: 90° i 270° leżą na osi y, „pionowo”, i wtedy funkcja „przewraca się” na drugą.
2. Jaki jest znak? Udajemy, że α to mały kąt ostry, sprawdzamy, w której ćwiartce wypada cały kąt, i patrzymy, jaki znak ma tam funkcja z lewej strony, czyli ta wyjściowa.
Pytanie 1: w nawiasie jest 90°, więc cosinus zmienia się w sinus. Pytanie 2: jeśli α jest małe, to 90° + α leży w II ćwiartce. Cosinus w II ćwiartce jest ujemny, więc przed wynikiem stawiamy minus. Wynik: cos(90° + α) = −sin α.
Pytanie 1: 180°, więc tangens zostaje tangensem. Pytanie 2: 180° + α leży w III ćwiartce, a tangens jest tam dodatni. Wynik: tg(180° + α) = tg α.
| Kąt | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| 90° − α | cos α | sin α | ctg α | tg α |
| 90° + α | cos α | −sin α | −ctg α | −tg α |
| 180° − α | sin α | −cos α | −tg α | −ctg α |
| 180° + α | −sin α | −cos α | tg α | ctg α |
| 270° − α | −cos α | −sin α | ctg α | tg α |
| 270° + α | −cos α | sin α | −ctg α | −tg α |
| 360° − α | −sin α | cos α | −tg α | −ctg α |
| −α | −sin α | cos α | −tg α | −ctg α |
Tę tabelę możesz w każdej chwili odtworzyć z dwóch pytań. Spróbuj dla kilku wierszy i sprawdź, czy wychodzi to samo.
W przykładach będziemy sprowadzać kąty do tych trzech, więc warto mieć ich wartości pod ręką.
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| sin | 12 | 22 | 32 |
| cos | 32 | 22 | 12 |
| tg | 33 | 1 | 3 |
| ctg | 3 | 1 | 33 |
120° leży w II ćwiartce. Zapisujemy go jako 180° − 60°.
Pytanie 1: 180°, więc nazwa się nie zmienia. Pytanie 2: sinus w II ćwiartce jest dodatni.
sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = 32
Można też zapisać 120° = 90° + 30°. Wtedy nazwa się zmienia: sin(90° + 30°) = cos 30° = 32. Wynik ten sam, więc wybieraj ten zapis, który jest dla ciebie wygodniejszy.
150° = 180° − 30°, II ćwiartka. Nazwa zostaje, a cosinus w II ćwiartce jest ujemny.
cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −32
135° = 180° − 45°, II ćwiartka. Nazwa zostaje, tangens w II ćwiartce jest ujemny.
tg 135° = −tg 45° = −1
210° = 180° + 30°, III ćwiartka. Nazwa zostaje, sinus w III ćwiartce jest ujemny.
sin 210° = −sin 30° = −12
240° = 180° + 60°, III ćwiartka. Nazwa zostaje, cosinus w III ćwiartce jest ujemny.
cos 240° = −cos 60° = −12
300° = 360° − 60°, IV ćwiartka. Nazwa zostaje, tangens w IV ćwiartce jest ujemny.
tg 300° = −tg 60° = −3
300° = 360° − 60°, IV ćwiartka. Cosinus w IV ćwiartce jest dodatni, zgodnie z wierszykiem.
cos 300° = cos 60° = 12
330° = 360° − 30°, IV ćwiartka. Sinus w IV ćwiartce jest ujemny.
sin 330° = −sin 30° = −12
Po pełnym obrocie, czyli 360°, ramię kąta wraca na to samo miejsce, więc wartości funkcji się powtarzają. Od kąta możemy odejmować pełne obroty: sin 750° = sin(750° − 720°) = sin 30° = 12. Tangens i cotangens powtarzają się już co 180°: tg 225° = tg(180° + 45°) = tg 45° = 1.
Kąt ujemny odmierzamy zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc −60° wypada w IV ćwiartce. cos(−60°) = cos 60° = 12, a sin(−60°) = −sin 60° = −32.
Pierwszy składnik: 180°, więc nazwa zostaje, a sinus w II ćwiartce jest dodatni: sin(180° − α) = sin α. Drugi składnik: 90°, więc cosinus zmienia się w sinus, a cosinus w II ćwiartce jest ujemny: cos(90° + α) = −sin α.
tg(180° + α) = tg α, bo nazwa zostaje, a tangens w III ćwiartce jest dodatni. ctg(90° − α) = tg α, bo nazwa się zmienia, a cotangens w I ćwiartce jest dodatni. Wynik to tg α · tg α = tg2α.
sin 150° = sin 30° = 12, cos 120° = −cos 60° = −12, tg 225° = tg 45° = 1. Suma: ½ − ½ + 1 = 1.
Pierwszy błąd to ustalanie znaku według nowej funkcji zamiast wyjściowej. Przy cos(90° + α) patrzymy na znak cosinusa w II ćwiartce, a nie sinusa. Drugi błąd to zmienianie nazwy funkcji przy 180° albo brak zmiany przy 90°. Trzeci to zła ćwiartka: 120° leży w II ćwiartce, a 240° w III. Czwarty to mylenie wartości sin 30° i sin 60°. Pomaga zapamiętanie, że sin 30° = ½ to najmniejsza z wartości w tabelce, a sinus rośnie razem z kątem od 0° do 90°.
Oblicz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
sin(180° − 45°) = sin 45° = 22
cos(180° − 60°) = −cos 60° = −12
tg(180° − 30°) = −tg 30° = −33
sin(180° + 60°) = −sin 60° = −32
cos(360° − 30°) = cos 30° = 32
sin(405° − 360°) = sin 45° = 22
nazwa się zmienia, sinus w II ćwiartce dodatni: cos α
nazwa się zmienia, cosinus w III ćwiartce ujemny: −sin α
Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:
„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”
to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.
Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.
W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:
Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.
Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.
Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.
Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎
zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.
3–4 miesiące
4–6 tygodni
