✦ Matura 2026: kurs od podstaw do pełnych zadań Dołącz →
Wyrażenia wymierne to po prostu ułamki, w których zamiast liczb są wyrażenia z x. Działa się na nich dokładnie tak samo jak na zwykłych ułamkach: skraca się je, mnoży, dzieli, dodaje i odejmuje. Dochodzi tylko jedna nowa rzecz, o której trzeba pamiętać zawsze: mianownik nie może być równy zero. W tym wpisie przechodzę przez wszystkie działania krok po kroku, na wielu przykładach.
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, gdzie wielomian w mianowniku nie jest zerowy. W liczniku i mianowniku mogą więc stać liczby i potęgi x z naturalnymi wykładnikami, połączone dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem.
| Wyrażenie | Czy jest wymierne | Dlaczego |
|---|---|---|
| 3x − 2 | tak | w liczniku i mianowniku są wielomiany |
| x2 + 12x − 5 | tak | iloraz wielomianów |
| x + 12 | tak | mianownik to liczba, czyli wielomian stopnia zero; to zarazem zwykły wielomian |
| √xx + 1 | nie | √x nie jest wielomianem |
| 1x−2 + 3 | nie | ujemny wykładnik w mianowniku |
| 50 | nie | dzielenie przez zero nie ma sensu |
Przez zero nie da się dzielić, więc z dziedziny wyrzucamy wszystkie x, dla których mianownik wynosi zero. Robimy to zawsze na samym początku, zanim cokolwiek skrócimy czy przekształcimy.
1. Weź mianownik i przyrównaj go do zera.
2. Rozwiąż to równanie, najlepiej rozkładając mianownik na czynniki.
3. Wszystkie znalezione x wyrzuć z dziedziny.
| Wyrażenie | Mianownik = 0 | Dziedzina |
|---|---|---|
| 3x − 2 | x − 2 = 0, czyli x = 2 | x ≠ 2 |
| x + 1x2 − 9 | x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0, czyli x = 3 lub x = −3 | x ≠ 3 i x ≠ −3 |
| 2xx(x − 5) | iloczyn jest zerem, gdy x = 0 lub x = 5 | x ≠ 0 i x ≠ 5 |
| x2x + 1 | 2x + 1 = 0, czyli x = −12 | x ≠ −12 |
| 1x2 − 6x + 9 | x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 = 0, czyli x = 3 | x ≠ 3 |
| 5x2 + 4 | x2 + 4 jest zawsze większe od 0 | x ∈ ℝ |
Do rozkładu mianownika przydają się wzory skróconego mnożenia: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) to różnica kwadratów, a x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 to kwadrat różnicy. Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy któryś z czynników jest równy zero.
Skracanie działa jak przy zwykłych ułamkach: 6/8 = (2 · 3)/(2 · 4) = 3/4. Dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik. Kluczowe słowo to czynnik, czyli coś, przez co się mnoży. Dlatego najpierw rozkładamy licznik i mianownik na iloczyn, a dopiero potem skracamy.
1. Wyznacz dziedzinę z mianownika w pierwotnej postaci.
2. Rozłóż licznik i mianownik na czynniki: wyłącz wspólny czynnik przed nawias albo użyj wzorów skróconego mnożenia.
3. Skreśl czynniki, które są zarówno w liczniku, jak i w mianowniku.
4. Zapisz wynik razem z dziedziną.
Dziedzina: x − 2 ≠ 0, więc x ≠ 2. Licznik to różnica kwadratów: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Dziedzina: x² + 2x = x(x + 2) ≠ 0, więc x ≠ 0 i x ≠ −2. W liczniku wyłączamy 3 przed nawias, w mianowniku x.
Dziedzina: x² − 9 ≠ 0, więc x ≠ 3 i x ≠ −3. Licznik to kwadrat różnicy (x − 3)², mianownik to różnica kwadratów.
Kwadrat (x − 3)² to (x − 3)(x − 3), więc jeden z tych nawiasów skraca się z nawiasem w mianowniku, a drugi zostaje.
Dziedzina: x ≠ 0. W liczniku wyłączamy 5x przed nawias.
Mianownik 10x zapisujemy jako 2 · 5x, żeby było widać wspólny czynnik.
Dziedzina: x ≠ 4. Nawiasy wyglądają podobnie, ale mają przeciwne znaki: 4 − x = −(x − 4). Wyłączamy minus przed nawias.
Sprawdzenie na liczbie: dla x = 6 mamy 2/(−2) = −1.
Dziedzina: x² + x = x(x + 1) ≠ 0, więc x ≠ 0 i x ≠ −1. W liczniku wyłączamy x, a potem zostaje różnica kwadratów: x³ − x = x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1).
Dlaczego dziedzinę ustala się przed skracaniem? Po skróceniu w przykładzie a zostaje x + 2, które dałoby się policzyć także dla x = 2. Ale pierwotne wyrażenie dla x = 2 nie istnieje, bo w mianowniku byłoby zero. Skrócone wyrażenie jest równe pierwotnemu tylko w jego dziedzinie.
Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Zanim wymnożysz, rozłóż wszystko na czynniki i skróć, także „na krzyż”, czyli licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego.
Dziedzina: x + 1 ≠ 0 i x² ≠ 0, czyli x ≠ −1 i x ≠ 0. Zapisujemy na jednej kresce i skracamy:
Dziedzina: x ≠ 0 i x ≠ −1. Rozkładamy x² − 1 = (x − 1)(x + 1) oraz 4x² = 2 · 2x · x:
Dziedzina: x ≠ 2. Rozkładamy x² − 4 = (x − 2)(x + 2) i 9 = 3 · 3:
Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka. Uwaga na dziedzinę: licznik drugiego ułamka przechodzi do mianownika, więc też nie może być zerem.
Dziedzina: x − 3 ≠ 0 z mianowników oraz x² ≠ 0 z licznika dzielnika, czyli x ≠ 3 i x ≠ 0. Odwracamy drugi ułamek i skracamy:
Dziedzina: x ≠ −2 z mianowników oraz x ≠ 3 z licznika dzielnika. Odwracamy i rozkładamy x² − 9:
Tu znowu pomaga porównanie ze zwykłymi ułamkami. Żeby dodać ½ + ⅓, sprowadzamy je do wspólnego mianownika 6: 3/6 + 2/6 = 5/6. Z wyrażeniami wymiernymi robimy to samo. Wspólnym mianownikiem jest iloczyn wszystkich różnych czynników z mianowników.
1. Wyznacz dziedzinę ze wszystkich mianowników.
2. Rozłóż mianowniki na czynniki i ustal wspólny mianownik.
3. Każdy licznik pomnóż przez to, czego jego mianownikowi brakuje do wspólnego.
4. Dodaj albo odejmij liczniki, uprość i sprawdź, czy coś się nie skraca.
Dziedzina: x ≠ 0. Mianownik jest wspólny, więc dodajemy tylko liczniki.
Dziedzina: x ≠ 0 i x ≠ −1. Wspólny mianownik to x(x + 1). Pierwszemu ułamkowi brakuje (x + 1), drugiemu brakuje x:
Dziedzina: x ≠ 2 i x ≠ −2. Wspólny mianownik to (x − 2)(x + 2) = x² − 4.
Rozkładamy x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Dziedzina: x ≠ 1 i x ≠ −1. Wspólnym mianownikiem jest (x − 1)(x + 1), więc tylko pierwszy ułamek trzeba rozszerzyć, i to o (x + 1):
Nie bierzemy za wspólny mianownik (x − 1)(x² − 1), bo czynnik (x − 1) powtórzyłby się niepotrzebnie. Wspólny mianownik ma zawierać każdy czynnik tylko tyle razy, ile potrzeba.
Dziedzina: x ≠ 3. Ponieważ 3 − x = −(x − 3), drugi ułamek to −1/(x − 3). Zatem całość to 1/(x − 3) − 1/(x − 3) = 0.
Gdy wyrażenie wymierne pojawia się w równaniu, najpierw ustalamy dziedzinę, a potem mnożymy obie strony przez mianownik, żeby się go pozbyć. Na końcu sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny.
Dziedzina: x ≠ 2. Mnożymy obie strony przez (x − 2): x + 1 = 2(x − 2), czyli x + 1 = 2x − 4, skąd x = 5. Liczba 5 należy do dziedziny. Sprawdzenie: 6/3 = 2.
Dziedzina: x ≠ 2. Skracamy lewą stronę: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2. Równanie x + 2 = 4 daje x = 2. Ale 2 nie należy do dziedziny, więc to nie jest rozwiązanie.
Ten drugi przykład pokazuje, po co jest dziedzina: bez niej łatwo podać odpowiedź, która jest błędna.
Pierwszy błąd to skracanie składników zamiast czynników, na przykład skreślanie x w (x + 3)/x. Drugi to wyznaczanie dziedziny dopiero po skróceniu, przez co gubi się wykluczone liczby. Trzeci to zgubienie drugiego rozwiązania przy x² − 9 = 0. Czwarty to brak zmiany znaków przy odejmowaniu ułamka, którego licznik ma kilka wyrazów. Piąty to zapominanie przy dzieleniu, że licznik dzielnika też nie może być zerem. Szósty to nierozpoznanie przeciwnych nawiasów, takich jak x − 4 i 4 − x.
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
x + 4 ≠ 0, więc x ≠ −4
x² − 25 = (x − 5)(x + 5), więc x ≠ 5 i x ≠ −5
(x − 4)(x + 4)/(x + 4) = x − 4, dla x ≠ −4
2(x + 4)/(x(x + 4)) = 2/x, dla x ≠ 0 i x ≠ −4
1/3, dla x ≠ 1 i x ≠ 0
4/x · x²/2 = 2x, dla x ≠ 0
(x − 3 + 2x)/(x(x − 3)) = (3x − 3)/(x(x − 3)), dla x ≠ 0 i x ≠ 3
(4(x − 1) − 2(x + 1))/(x² − 1) = (2x − 6)/(x² − 1), dla x ≠ ±1
Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:
„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”
to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.
Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.
W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:
Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.
Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.
Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.
Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎
zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.
3–4 miesiące
4–6 tygodni
