✦ Matura 2026: kurs od podstaw do pełnych zadań Dołącz →
Wykres funkcji liniowej to zawsze linia prosta. Z tej jednej prostej można odczytać bardzo dużo: gdzie przecina osie, czy funkcja rośnie, jaką ma wartość dla danego argumentu, które punkty do niej należą i gdzie spotyka się z innym wykresem. W tym wpisie przechodzimy przez wszystkie te informacje po kolei, z rysunkami i przykładami krok po kroku.
Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, f(x)). Bierzesz argument x, liczysz wartość f(x) i zaznaczasz punkt, którego pierwsza współrzędna to x, a druga to f(x). Gdyby zrobić to dla wszystkich liczb, punkty ułożyłyby się w prostą. Dla funkcji liniowej f(x) = ax + b ta prosta nigdy nie jest pionowa, bo każdemu x odpowiada dokładnie jedna wartość.
Żeby narysować prostą, wystarczą dwa punkty, a trzeci warto policzyć jako sprawdzenie. Dokładny przepis, metodę tabelki i metodę schodków opisałam w osobnym wpisie o rysowaniu funkcji liniowej. Tutaj skupiamy się na tym, co z gotowego wykresu wynika.
Na rysunku jest wykres funkcji f(x) = 2x − 4 z zaznaczonymi najważniejszymi elementami.
| Element | Jak go znaleźć | Dla f(x) = 2x − 4 |
|---|---|---|
| punkt przecięcia z osią y | (0, b) | (0, −4) |
| miejsce zerowe (przecięcie z osią x) | rozwiąż ax + b = 0 | 2x − 4 = 0, czyli x = 2 |
| kierunek | znak a: a > 0 rośnie, a < 0 maleje | a = 2 > 0, rośnie |
| nachylenie | schodek: 1 w prawo i a w górę | 1 w prawo, 2 w górę |
| wartości dodatnie | część wykresu nad osią x | dla x > 2 |
| wartości ujemne | część wykresu pod osią x | dla x < 2 |
Punkt na osi y ma pierwszą współrzędną 0, więc wstawiamy x = 0 i dostajemy y = b. Punkt na osi x ma drugą współrzędną 0, więc rozwiązujemy równanie ax + b = 0. Wychodzi x = −b/a, czyli miejsce zerowe.
| Funkcja | Z osią y (x = 0) | Z osią x (y = 0) |
|---|---|---|
| f(x) = 3x + 6 | (0, 6) | 3x + 6 = 0, x = −2, punkt (−2, 0) |
| f(x) = −x + 5 | (0, 5) | −x + 5 = 0, x = 5, punkt (5, 0) |
| f(x) = 12x − 2 | (0, −2) | 12x = 2, x = 4, punkt (4, 0) |
| f(x) = 4x | (0, 0) | 4x = 0, x = 0, ten sam punkt |
| f(x) = 3 | (0, 3) | brak, prosta pozioma nad osią x |
| f(x) = 0 | cała oś x | cała oś x |
Jeśli znasz oba punkty przecięcia z osiami, możesz od razu narysować wykres: zaznaczasz je i prowadzisz przez nie prostą.
Punkt należy do wykresu, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Wstawiamy pierwszą współrzędną za x i sprawdzamy, czy wychodzi druga współrzędna.
| Punkt | Liczymy f(x) | Porównanie | Wniosek |
|---|---|---|---|
| A = (2, 1) | f(2) = 2 · 2 − 3 = 1 | 1 = 1 | należy |
| B = (−1, −4) | f(−1) = 2 · (−1) − 3 = −5 | −5 ≠ −4 | nie należy |
| C = (0, −3) | f(0) = 2 · 0 − 3 = −3 | −3 = −3 | należy |
| D = (12, −2) | f(12) = 2 · 12 − 3 = −2 | −2 = −2 | należy |
Na rysunku widać, że punkty A, C i D leżą na prostej, a punkt B jest tuż pod nią. Rachunek jest pewniejszy od oka, bo punkt może leżeć bardzo blisko prostej, a jednak na niej nie być.
Z wykresu można odczytać dwa rodzaje informacji: wartość funkcji dla podanego x oraz argument, dla którego funkcja ma podaną wartość.
Z punktu x = 4 na osi x idziemy pionowo do wykresu, a potem poziomo do osi y. Trafiamy na y = −1, więc f(4) = −1. Rachunek: f(4) = −4 + 3 = −1.
Teraz odwrotnie: z punktu y = 5 na osi y idziemy poziomo do wykresu, a potem pionowo do osi x. Trafiamy na x = −2. Rachunek: −x + 3 = 5, czyli −x = 2, więc x = −2.
Funkcję liniową można obliczyć dla każdej liczby, więc jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ℝ. Wykres ciągnie się bez końca w lewo i w prawo.
| Przypadek | Zbiór wartości | Monotoniczność | Wykres |
|---|---|---|---|
| a > 0 | ℝ | rosnąca | wznosi się, idąc w prawo |
| a < 0 | ℝ | malejąca | opada, idąc w prawo |
| a = 0 | {b}, jedna liczba | stała | pozioma prosta y = b |
Gdy a ≠ 0, wykres sięga dowolnie wysoko i dowolnie nisko, więc funkcja przyjmuje każdą wartość. Gdy a = 0, każda wartość jest taka sama i równa b.
Układ współrzędnych dzielą osie na cztery ćwiartki, numerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej. Znaki a i b mówią, przez które ćwiartki przechodzi wykres.
| Znaki | Przykład | Ćwiartki |
|---|---|---|
| a > 0, b > 0 | y = x + 2 | I, II, III |
| a > 0, b < 0 | y = x − 2 | I, III, IV |
| a < 0, b > 0 | y = −x + 2 | I, II, IV |
| a < 0, b < 0 | y = −x − 2 | II, III, IV |
| b = 0, a ≠ 0 | y = 2x lub y = −2x | tylko dwie, przez początek układu |
Czerwona prosta y = x + 2 omija ćwiartkę IV, a miętowa y = −x − 2 omija ćwiartkę I. To typowe pytanie zamknięte na sprawdzianach.
Gdy do wzoru funkcji dodasz liczbę, cały wykres przesuwa się w pionie. Dodanie liczby dodatniej przesuwa go w górę, odjęcie w dół. Zmienia się wtedy tylko b, a współczynnik a zostaje, więc nowy wykres jest równoległy do starego.
Wykres y = ½x przesunięty o 3 w górę to y = ½x + 3, a przesunięty o 2 w dół to y = ½x − 2.
W punkcie wspólnym obie funkcje mają tę samą wartość, więc przyrównujemy ich wzory:
Przenieśliśmy −2x na lewą stronę (staje się +2x) i 1 na prawą (staje się −1): x + 2x = 7 − 1. Drugą współrzędną liczymy z dowolnego wzoru: f(2) = 2 + 1 = 3. Sprawdzenie w drugim: g(2) = −4 + 7 = 3. Zgadza się.
Zmiana y to 5 − (−1) = 6, zmiana x to 2 − (−1) = 3, więc a = 63 = 2.
Wstawiamy punkt (2, 5) do wzoru y = 2x + b: 5 = 4 + b, więc b = 1. Widać to też na rysunku: prosta przecina oś y w punkcie (0, 1).
Wykres odcina z osiami trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne leżą na osiach. Wystarczy znaleźć punkty przecięcia z osiami.
Z osią y: (0, 4), więc jedna przyprostokątna ma długość 4. Z osią x: −2x + 4 = 0, x = 2, więc druga przyprostokątna ma długość 2. Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych: P = ½ · 2 · 4 = 4.
Pierwszy błąd to zamiana współrzędnych punktu miejscami przy sprawdzaniu, czy należy do wykresu. Drugi to mylenie punktu przecięcia z osią y z miejscem zerowym. Pierwszy to (0, b), drugi to rozwiązanie równania ax + b = 0. Trzeci to rysowanie wykresu jako odcinka między dwoma punktami, zamiast prostej przedłużonej przez cały układ. Czwarty to ocenianie „na oko”, czy punkt leży na prostej, zamiast sprawdzić to rachunkiem.
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie i wykres.
z osią y: (0, 6); z osią x: 2x + 6 = 0, czyli (−3, 0)
tak, bo f(3) = −3 + 5 = 2
nie, bo f(1) = 3 − 1 = 2 ≠ 4
a < 0, b > 0, więc I, II i IV
x − 2 = −x + 4, 2x = 6, x = 3, y = 1: punkt (3, 1)
punkty (0, 3) i (−3, 0), więc P = ½ · 3 · 3 = 4,5
Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:
„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”
to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.
Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.
W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:
Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.
Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.
Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.
Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎
zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.
3–4 miesiące
4–6 tygodni
