[matura rozszerzona, maj 2010, zadanie 6. (5 pkt)]

Wyznacz wszystkie wartości parametru mmm, dla których równanie x2+mx+2=0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m2−13

ROZWIĄZANIE

✅ Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste

Dla równania kwadratowego:

warunkiem, żeby miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jest:

Liczymy deltę:

Zatem warunek:

albo i tak:

Czyli:

✅ Krok 2: Suma kwadratów pierwiastków

Nie musimy liczyć pierwiastków osobno – skorzystajmy z wzoru Viète’a i własności kwadratów.

Niech pierwiastki równania to x1 i x2​. Z własności funkcji kwadratowej mamy:

Chcemy zapisać:

Korzystamy ze wzoru:

Nie pamiętasz jak do tego dojść? Zerknij na youtube!

Teraz warunek z treści zadania:

✅ Krok 3: Rozwiązujemy nierówność

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

Albo

I otrzymujemy:

✅ Krok 4: Połączenie warunków

Z dwóch warunków mamy:

Dwa pierwiastki rzeczywiste i różne:

Suma kwadratów większa niż 2m2−13

Zatem szukamy części wspólnej tych przedziałów:

I to już!

W odpowiedzi wpisz: