[matura rozszerzona, maj 2010, zadanie 6. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru mmm, dla których równanie x2+mx+2=0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m2−13
ROZWIĄZANIE
✅ Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste
Dla równania kwadratowego:
warunkiem, żeby miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jest:
Liczymy deltę:
Zatem warunek:
albo i tak:
Czyli:
✅ Krok 2: Suma kwadratów pierwiastków
Nie musimy liczyć pierwiastków osobno – skorzystajmy z wzoru Viète’a i własności kwadratów.
Niech pierwiastki równania to x1 i x2. Z własności funkcji kwadratowej mamy:
Chcemy zapisać:
Korzystamy ze wzoru:
Nie pamiętasz jak do tego dojść? Zerknij na youtube!
Teraz warunek z treści zadania:
✅ Krok 3: Rozwiązujemy nierówność
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
Albo
I otrzymujemy:
✅ Krok 4: Połączenie warunków
Z dwóch warunków mamy:
Dwa pierwiastki rzeczywiste i różne:
Suma kwadratów większa niż 2m2−13
Zatem szukamy części wspólnej tych przedziałów:
I to już!
W odpowiedzi wpisz:
