Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c funkcja
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Rozwiązanie:
Masz funkcję:
f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)
i musisz udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,ca, b, ca,b,c, ta funkcja ma przynajmniej jedno miejsce zerowe.
📌 Cel:
Chcemy pokazać, że dla jakiejś liczby x0, mamy:
f(x0)=0.
🔍 Dlaczego taki cel?
Bo miejsce zerowe funkcji to właśnie taka liczba x0, dla której wartość funkcji wynosi zero, czyli f(x0)=0. Skoro w treści zadania mamy udowodnić, że funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe, to musimy znaleźć (albo wykazać istnienie) takiego x0, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. To jest dokładna definicja miejsca zerowego.
👣 Krok po kroku:
🔹 Krok 1: Przepisz funkcję i uporządkuj
Mamy:
f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)
To suma trzech iloczynów dwóch nawiasów.
🔹 Krok 2: Rozwiń każdy nawias
Rozwijamy każdy nawias (wzór skróconego mnożenia lub po prostu mnożenie „każdy z każdym”):
🔹 Krok 3: Dodaj wszystko razem
Dodajemy wszystko:
f(x)=[x2−(a+b)x+ab]+[x2−(b+c)x+bc]+[x2−(c+a)x+ca]
Teraz łączymy podobne wyrazy:
Czyli:
🔹 Krok 4: To funkcja kwadratowa
Czyli:
f(x)=3×2−2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)
Chcemy teraz wykazać, że ta funkcja ma przynajmniej jedno miejsce zerowe. Innymi słowy: czy równanie f(x)=0 ma rozwiązanie?
Krok 5: Wykorzystamy fakt, że funkcja kwadratowa zawsze przecina oś X albo dotyka jej
Dla funkcji kwadratowej, jeśli traktujemy dowolne a,b,ca, b, ca,b,c jako liczby rzeczywiste, to:
- funkcja kwadratowa może mieć 2 miejsca zerowe, 1 miejsce zerowe lub 0, ale zawsze ma co najmniej jedno miejsce zerowe w ℝ jeśli współczynnik przed x2x^2×2 ≠ 0, a tu mamy 3x23x^23×2, czyli na pewno ≠ 0.
ALE można też to sprytniej wykazać bez liczenia miejsc zerowych!
🔹 KROK 6: Funkcja kwadratowa – sprawdzamy deltę
Dla funkcji kwadratowej:
Miejsca zerowe istnieją wtedy, gdy delta:
U nas przypominam funkcja wyglada tak
to współczynniki wyglądają tak:
- A=3A
- B=−2(a+b+c)
- C=ab+bc+ca
Podstawmy do wzoru na deltę:
Nie musimy liczyć dokładnie ile to wychodzi, bo ważniejsze jest to:
👉 Delta jest liczbą rzeczywistą, bo wszystko w niej jest zbudowane z liczb rzeczywistych.
W matematyce wiadomo, że funkcja kwadratowa o rzeczywistych współczynnikach zawsze ma przynajmniej jedno miejsce zerowe:
- jeśli Δ>0 → dwa miejsca zerowe
- jeśli Δ=0→ jedno miejsce zerowe
- jeśli Δ<0→ brak miejsc zerowych w R, ale nadal można pokazać (w drugim podejściu), że taka sytuacja tu nie wystąpi
Ale wracając do delty.
I teraz przekształćmy, najpierw pierwszy nawias:
Zatem teraz nam wychodzi to jak wrzucimy z powrotem pod deltę:
Grupujemy:
I wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
Teraz zgrupuj składniki tak, by pasowały do wzorów skróconego mnożenia:
Ułóż to jako sumę pełnych kwadratów, czyli zwijamy to! 🙂
Dlatego:
I puff.. ostateczne przekształcenie!
Każdy składnik tej sumy to kwadrat liczby rzeczywistej, a jak wiemy:
🔹 Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze większy lub równy zero, tzn.
więc:
Pomnożenie tych nieujemnych liczb przez 2 również daje nieujemne wyniki.
Dlatego:
Ponieważ Δ wyraża się jako suma trzech nieujemnych wyrażeń (kwadratów), to jest na pewno Δ≥0. Oznacza to, że funkcja f(x) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Dowód zakończony.
