Który ułamek jest większy: 3/5 czy 4/7? Na pierwszy rzut oka nie widać, bo i liczniki, i mianowniki są różne. Na szczęście jest kilka sposobów, żeby to szybko rozstrzygnąć. W tym wpisie pokazuję wszystkie, od najprostszych przypadków przez metody uniwersalne aż po sprytne skróty, i wyjaśniam na rysunkach, dlaczego działają.

1Te same mianowniki

Gdy mianowniki są równe, kawałki mają tę samą wielkość. Większy jest więc ułamek, który ma więcej kawałków, czyli większy licznik.

2Te same liczniki

Gdy liczniki są równe, bierzemy tyle samo kawałków, ale kawałki mają różną wielkość. Im większy mianownik, tym na więcej części dzielimy całość, więc tym mniejszy jest każdy kawałek. Dlatego przy równych licznikach większy jest ułamek z mniejszym mianownikiem.

3Sposób 1: wspólny mianownik

Działa zawsze. Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki, jak w punkcie 1. Wspólny mianownik szukamy tak samo jak przy dodawaniu ułamków.

Wspólny mianownik to 35, bo 5 i 7 nie mają wspólnych dzielników.

21 > 20, więc 3/5 > 4/7.

4Sposób 2: mnożenie na krzyż

To skrót sposobu 1. Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i licznik drugiego przez mianownik pierwszego. Który iloczyn jest większy, po tej stronie stoi większy ułamek.

5 · 11 = 55 oraz 8 · 7 = 56. 55 < 56, więc 5/8 < 7/11.

5Sposób 3: zamiana na ułamki dziesiętne

Dzielimy licznik przez mianownik i porównujemy ułamki dziesiętne. Dobre, gdy mianowniki łatwo zamienić albo gdy liczymy z kalkulatorem. Na przykład 38 = 0,375 i 25 = 0,4, więc 3/8 < 2/5. Przy ułamkach okresowych, jak 1/3 = 0,333…, wystarczy kilka cyfr po przecinku.

6Sprytne skróty

Porównanie z ½

Ułamek jest większy od ½, gdy licznik jest większy od połowy mianownika. 3/7 < ½, bo połowa z 7 to 3,5, a 3 < 3,5. Z kolei 5/9 > ½, bo połowa z 9 to 4,5, a 5 > 4,5. Zatem 3/7 < ½ < 5/9 i nie trzeba nic więcej liczyć.

Ile brakuje do całości

Gdy oba ułamki są bliskie 1, porównujemy, ile każdemu brakuje do całości. Któremu brakuje mniej, ten jest większy.

7/8 brakuje do 1 jeszcze 1/8, a 9/10 brakuje 1/10. Ponieważ 110 < 18, ułamek 9/10 jest bliżej 1, czyli jest większy.

Ten sam sposób działa dla 99/100 i 999/1000: drugiemu brakuje tylko 1/1000, więc jest większy.

7Liczby mieszane i ułamki ujemne

Liczby mieszane

Najpierw porównujemy całości. Gdy są różne, sprawa jest rozstrzygnięta: 318 > 278, bo 3 > 2. Gdy całości są równe, porównujemy części ułamkowe: 223 ? 235 sprowadza się do 2/3 ? 3/5, a 10/15 > 9/15, więc pierwsza liczba jest większa.

Ułamki ujemne

Wśród liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera, czyli ta o mniejszej wartości bezwzględnej. Najpierw porównujemy ułamki bez minusów, a potem odwracamy znak nierówności.

Bez minusów: 23 = 812 i 34 = 912, więc 2/3 < 3/4. Po dopisaniu minusów nierówność się odwraca: −2/3 > −3/4. Na osi −2/3 leży bliżej zera.

8Porządkowanie kilku ułamków

Wspólny mianownik dla 6, 3, 4 i 12 to 12.

Porządkujemy liczniki: 7 < 8 < 9 < 10.

9Ułamek między dwoma ułamkami

Między dowolnymi dwoma różnymi ułamkami zawsze leży kolejny ułamek, a nawet nieskończenie wiele. Żeby go znaleźć, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. Jeśli liczniki są kolejnymi liczbami, rozszerzamy jeszcze raz, na przykład razy 2.

13 = 26 i 12 = 36. Liczniki 2 i 3 są kolejne, więc rozszerzamy jeszcze razy 2: 412 i 612. Między nimi leży 512.

Inny prosty sposób to średnia obu ułamków: (1/3 + 1/2) : 2 = (5/6) : 2 = 5/12. Średnia zawsze leży dokładnie w połowie drogi.

10Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to porównywanie tylko mianowników albo tylko liczników, gdy oba są różne. Drugi to przekonanie, że przy równych licznikach większy jest ułamek z większym mianownikiem. Trzeci to przy ułamkach ujemnych zapomnienie o odwróceniu nierówności. Czwarty to przy mnożeniu na krzyż pomylenie, który iloczyn odpowiada któremu ułamkowi. Iloczyn z licznikiem pierwszego ułamka „należy” do pierwszego. Piąty to zbyt wczesne zaokrąglanie przy zamianie na ułamki dziesiętne, gdy ułamki są bardzo bliskie.

11Sprawdź się

Porównaj samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.