Liczby wymierne i niewymierne to temat, od którego zaczyna się matematyka w liceum i pierwszy dział na maturze. Brzmi teoretycznie, ale sprowadza się do jednego pytania: czy daną liczbę da się zapisać jako ułamek? W tym wpisie wyjaśniam, jak rozpoznać jedne i drugie, co się dzieje, gdy wykonujemy na nich działania, dlaczego √2 nie jest ułamkiem, i pokazuję typowe zadania maturalne.

1Zbiory liczbowe: jeden w drugim

Zanim przejdziemy do liczb wymiernych, warto zobaczyć cały obraz. Zbiory liczbowe są ułożone jak matrioszki: każdy kolejny zawiera poprzedni.

Każda liczba rzeczywista jest albo wymierna, albo niewymierna. Nie ma liczb, które byłyby jednym i drugim naraz, ani takich, które nie byłyby żadnym z nich. W polskich szkołach do liczb naturalnych zalicza się zwykle 0.

2Liczby wymierne

Wiele liczb nie wygląda na ułamek, a jednak nim jest. Zobacz:

Ważna cecha: liczba wymierna zapisana jako ułamek dziesiętny ma rozwinięcie skończone (jak 0,75) albo nieskończone okresowe (jak 0,333…). Nigdy nie jest „przypadkowym” ciągiem cyfr bez końca.

3Liczby niewymierne

4Jak rozpoznać, czy liczba jest wymierna

Zanim zdecydujesz, zawsze uprość wyrażenie. Wiele liczb, które wyglądają na niewymierne, po uproszczeniu okazuje się zwykłą liczbą wymierną.

5Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych

Na maturze często pada pytanie, czy wynik działania jest liczbą wymierną. Oto, co wiadomo na pewno, a co zależy od konkretnych liczb:

6Dlaczego √2 jest niewymierne?

To jeden z najsłynniejszych dowodów w matematyce, znany od starożytności. Jest to dowód „nie wprost”: zakładamy coś przeciwnego i pokazujemy, że prowadzi to do sprzeczności.

Krok 1. Załóżmy, że √2 jest wymierne

Wtedy √2 = p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a ułamek jest już skrócony do końca, czyli p i q nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1.

Krok 2. Podnosimy do kwadratu

2 = p²/q², więc p² = 2q². Zatem p² jest liczbą parzystą. A skoro kwadrat jest parzysty, to samo p też musi być parzyste (kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty). Zapiszmy więc p = 2k.

Krok 3. Wstawiamy p = 2k

(2k)² = 2q², czyli 4k² = 2q², czyli q² = 2k². Teraz q² jest parzyste, więc q też jest parzyste.

Krok 4. Sprzeczność

Wyszło, że p i q są obie parzyste, czyli dzielą się przez 2. A założyliśmy, że ułamek p/q jest skrócony do końca. To sprzeczność, więc założenie z kroku 1 było fałszywe. √2 nie jest liczbą wymierną.

7Liczby niewymierne na osi liczbowej

Liczby niewymierne nie są „gorsze” ani „nieprawdziwe”. Mają swoje dokładne miejsce na osi liczbowej. √2 można nawet wyznaczyć cyrklem: przekątna kwadratu o boku 1 ma długość √2 (z twierdzenia Pitagorasa: 1² + 1² = 2). Gdy odłożymy tę przekątną na osi, trafimy dokładnie w punkt √2.

Liczby wymierne i niewymierne razem wypełniają całą oś liczbową bez żadnych dziur. Dlatego mówimy, że liczby rzeczywiste to cała oś.

8Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to uznanie każdego pierwiastka za liczbę niewymierną, choć √9 = 3 albo √(4/9) = 2/3 są wymierne. Drugi to uznanie liczby za wymierną, bo „da się ją przybliżyć ułamkiem”: π ≈ 22/7 to tylko przybliżenie. Trzeci to decydowanie przed uproszczeniem wyrażenia, na przykład przy √2 · √8. Czwarty to przekonanie, że suma dwóch liczb niewymiernych zawsze jest niewymierna. Piąty to traktowanie ułamka okresowego jak liczby niewymiernej, choć 0,(3) = 1/3.

9Sprawdź się

Zdecyduj samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.