Zdanie:
„Długości promienia i cięciwy okręgu mogą być równe.”
jest prawdziwe.
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że to niemożliwe. Promień to przecież „od środka do brzegu”, a cięciwa łączy dwa punkty na okręgu. Intuicyjnie wydaje się, że cięciwa powinna być albo krótsza, albo dłuższa. A jednak istnieje sytuacja, w której te długości są dokładnie takie same.
Zobaczmy to spokojnie i dokładnie.
1. Czym jest promień, a czym cięciwa?
Promień to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu. Wszystkie promienie w jednym okręgu mają taką samą długość.
Cięciwa to odcinek łączący dwa dowolne punkty leżące na okręgu. Może być bardzo krótka, może być długa, a najdłuższą możliwą cięciwą jest średnica.
Czyli:
- promień „idzie” od środka do brzegu,
- cięciwa „przecina” okrąg między dwoma punktami na brzegu.
To dwa różne rodzaje odcinków. Ale to jeszcze nie znaczy, że nie mogą mieć tej samej długości.
2. Kiedy cięciwa może być równa promieniowi?
Wyobraź sobie okrąg i wpisany w niego trójkąt równoboczny.
W trójkącie równobocznym:
- wszystkie boki są równe,
- wszystkie kąty mają 60°.
Każdy bok takiego trójkąta jest jednocześnie cięciwą okręgu, bo łączy dwa punkty leżące na okręgu.
Teraz najważniejsze: w przypadku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg długość jego boku jest równa długości promienia tego okręgu.
Oznacza to, że istnieje konkretna sytuacja geometryczna, w której:
cięciwa = promień
A skoro istnieje choć jeden taki przypadek, zdanie jest prawdziwe.
3. Dlaczego to w ogóle jest możliwe?
Jeżeli środek okręgu połączysz z dwoma punktami, które tworzą końce tej cięciwy, powstanie trójkąt.
W przypadku trójkąta równobocznego wszystkie jego boki są tej samej długości. Dwa z nich to promienie okręgu, a trzeci to właśnie ta cięciwa.
Skoro dwa boki mają długość promienia i trzeci też ma tę samą długość, to oznacza, że cięciwa ma długość promienia.
To nie jest przypadek ani wyjątek „na siłę”. To naturalna konsekwencja własności trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg.
4. Czy zawsze tak jest?
Nie. To bardzo ważne.
Cięciwa:
- może być krótsza od promienia,
- może być równa promieniowi,
- może być dłuższa od promienia (np. gdy jest blisko średnicy).
Równość występuje tylko w szczególnym ustawieniu punktów na okręgu.
Dlatego zdanie brzmi „mogą być równe”, a nie „są równe”.
Podsumowanie
Zdanie:
„Długości promienia i cięciwy okręgu mogą być równe.”
jest prawdziwe, ponieważ istnieje sytuacja – na przykład w trójkącie równobocznym wpisanym w okrąg – w której długość boku (czyli cięciwy) jest dokładnie taka sama jak długość promienia.
Nie jest to reguła obowiązująca zawsze, ale jest to możliwe.
A w zadaniach typu „prawda czy fałsz” wystarczy, że coś jest możliwe choćby w jednym przypadku, aby uznać zdanie za prawdziwe.