Ile różnych strojów da się skompletować z kilku koszulek i spodni? Ile jest czterocyfrowych kodów PIN? Ile liczb trzycyfrowych ma różne cyfry? Takie pytania należą do kombinatoryki, czyli sztuki liczenia możliwości bez wypisywania ich wszystkich. Dwie podstawowe zasady to reguła mnożenia i reguła dodawania. W tym wpisie wyjaśniam obie, pokazuję, kiedy której użyć, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania maturalne.
1Reguła mnożenia: „i”
Jeśli wybór odbywa się w kilku etapach, a w pierwszym etapie jest n₁ możliwości, w drugim n₂ i tak dalej, to wszystkich możliwości jest n₁ · n₂ · … Wybieramy jedną rzecz i drugą rzecz.
Do każdej z 3 koszulek pasują obie pary spodni. Drzewko ma 3 gałęzie, każda z nich rozgałęzia się na 2, więc wszystkich strojów jest 3 · 2 = 6. Gdyby doszły 4 pary butów, byłoby 3 · 2 · 4 = 24 stroje.
2Reguła dodawania: „lub”
Jeśli możliwości dzielą się na grupy, które się wykluczają, czyli żadna możliwość nie należy do dwóch grup naraz, to liczby możliwości w grupach dodajemy. Wybieramy jedną rzecz lub drugą rzecz.
Jedziemy autobusem albo tramwajem, nigdy obydwoma naraz. 2 + 3 = 5 sposobów.
Obie reguły naraz
Przez B: 3 · 2 = 6 sposobów (wybieramy drogę A–B i drogę B–C). Bezpośrednio: 4 sposoby. Jedziemy przez B lub bezpośrednio, więc dodajemy: 6 + 4 = 10.
| Słowo w treści | Działanie | Przykład |
|---|---|---|
| „i”, „a potem”, kolejne etapy | mnożenie | koszulka i spodnie: 3 · 2 |
| „lub”, „albo”, osobne przypadki | dodawanie | autobus lub tramwaj: 2 + 3 |
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobny dział: reguła mnożenia i dodawania, drzewka, permutacje, zliczanie liczb o zadanych własnościach i zadania maturalne. Wszystko krok po kroku.
Zobacz kurs na Udemy3Kody, liczby i kolejki
Kod PIN
W PIN-ie 0 może stać na początku. W liczbie już nie, i to jest najważniejsza różnica w kolejnych zadaniach.
Liczby dwucyfrowe
| Liczby dwucyfrowe | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| wszystkie | 9 · 10 (pierwsza cyfra 1–9, druga 0–9) | 90 |
| o różnych cyfrach | 9 · 9 (druga cyfra bez pierwszej, ale może być 0) | 81 |
| parzyste | 9 · 5 (ostatnia cyfra 0, 2, 4, 6, 8) | 45 |
| o obu cyfrach nieparzystych | 5 · 5 | 25 |
Liczby z podanych cyfr
Ustawianie w kolejce
Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce? Na pierwsze miejsce: 5 osób, na drugie: 4, na trzecie: 3, na czwarte: 2, na piąte: 1. Razem 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Taki iloczyn kolejnych liczb nazywa się silnią i zapisuje 5! (czytaj: pięć silnia).
4Rozbijanie na przypadki
Czasem ograniczenia na dwóch miejscach się „gryzą” i nie da się policzyć od razu. Wtedy dzielimy zadanie na przypadki, które się wykluczają, liczymy każdy osobno regułą mnożenia i dodajemy wyniki regułą dodawania.
Przypadek 1: ostatnia cyfra to 0
Przypadek 2: ostatnia cyfra to 2, 4, 6 lub 8
Dlaczego dwa przypadki? Przy zerze na końcu setki mają 9 możliwości, bo zero jest już zajęte i nie grozi na początku. Przy innej cyfrze parzystej setki mają tylko 8, bo trzeba wykluczyć zero i cyfrę jedności. Liczby z różnych przypadków się nie powtarzają, więc dodajemy.
Reguła mnożenia i dodawania to podstawa zadań z kombinatoryki na maturze podstawowej. Najczęściej trzeba policzyć liczby o zadanych własnościach: z cyframi nieparzystymi, o różnych cyfrach, podzielne przez 5. To samo zliczanie jest potrzebne do policzenia |Ω| i |A| w zadaniach z prawdopodobieństwa klasycznego.
A. 625
B. 120
C. 3125
D. 256
Rozwiązanie: cyfr nieparzystych jest 5 (1, 3, 5, 7, 9), a cyfry mogą się powtarzać. Zero nie jest nieparzyste, więc problem pierwszej cyfry znika. 5 · 5 · 5 · 5 = 625. Odpowiedź A. B to 5 · 4 · 3 · 2, czyli liczby bez powtórzeń, a C to 5⁵.
Odpowiedź: 136. W zadaniu otwartym nazwij przypadki i zapisz, dlaczego w każdym jest tyle możliwości. Za samo „136” bez uzasadnienia nie dostaniesz pełnej punktacji.
5Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to dodawanie tam, gdzie wybory są kolejnymi etapami, albo mnożenie tam, gdzie przypadki się wykluczają. Drugi to zapomnienie, że liczba nie może zaczynać się od zera. Trzeci to przy „różnych cyfrach” niezmniejszanie liczby możliwości w kolejnych etapach. Czwarty to zaczynanie od miejsca bez ograniczeń, przez co ograniczenia psują rachunek. Piąty to przy rozbijaniu na przypadki przypadki, które się nakładają, przez co niektóre możliwości są liczone dwa razy.
6Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. 4 zupy i 5 drugich dań. Ile zestawów obiadowych?
20
2. Ile jest liczb trzycyfrowych?
9 · 10 · 10 = 900
3. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?
9 · 9 · 8 = 648
4. Ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5?
9 · 2 = 18
5. Na ile sposobów można ustawić 4 książki na półce?
4! = 24
6. Ile jest kodów z 2 liter (26 liter) i 2 cyfr?
26 · 26 · 10 · 10 = 67 600
7. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności?
dla dziesiątek k: k możliwości, 1 + 2 + … + 9 = 45
8. Ile jest liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach?
jedności 5, setki 8, dziesiątki 8: 320
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” kombinatoryka i prawdopodobieństwo mają osobny dział: reguły mnożenia i dodawania, drzewka, permutacje, zliczanie liczb o zadanych własnościach i prawdopodobieństwo klasyczne, a do tego zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Statystyka, kombinatoryka i prawdopodobieństwoJak obliczyć średnią arytmetyczną?
- WcześniejTest chi kwadrat czym jest i jak go policzyć
- DalejKombinatoryka na maturze z matematyki podstawowej
- Przyda się teżPrawdopodobieństwo klasyczne: wzór i zadania krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
