Geometria analityczna to geometria w układzie współrzędnych: punkty mają współrzędne, a odległości i kąty liczy się wzorami. Dwa pierwsze wzory, które trzeba znać, to wzór na odległość dwóch punktów i wzór na środek odcinka. Pojawiają się prawie w każdym zadaniu z geometrii analitycznej na maturze. W tym wpisie wyjaśniam, skąd się biorą, i pokazuję krok po kroku ich zastosowania.
1Odległość dwóch punktów
Weźmy punkty A = (1, 2) i B = (7, 10). Jeśli z A pójdziemy poziomo w prawo, a potem pionowo w górę, dojdziemy do B. Powstaje trójkąt prostokątny: pozioma przyprostokątna ma długość 7 − 1 = 6, pionowa 10 − 2 = 8, a przeciwprostokątna to szukana odległość |AB|.
Z twierdzenia Pitagorasa |AB|² = 6² + 8² = 100, więc |AB| = 10. Ogólnie:
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych. Kolejność punktów nie ma znaczenia, bo różnice podnosimy do kwadratu.
Przypadki szczególne
Gdy punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, leżą na jednej pionowej prostej i odległość to po prostu |y₂ − y₁|. Na przykład |AB| dla A = (3, −1) i B = (3, 6) wynosi 7. Analogicznie, gdy mają tę samą drugą współrzędną, odległość to |x₂ − x₁|. Odległość punktu P = (x, y) od początku układu to √(x² + y²).
2Środek odcinka
Każda współrzędna środka to średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców. Środek leży „w połowie drogi” zarówno w poziomie, jak i w pionie.
xS = −2 + 62 = 2, yS = 5 + 12 = 3.
3Zadanie odwrotne: drugi koniec odcinka
Szybki sposób: od A do S przesuwamy się o (+4, −3), więc od S do B przesuwamy się tak samo: B = (3 + 4, 1 − 3) = (7, −2).
Geometria analityczna ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobny dział: odległość punktów, środek odcinka, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe, równanie okręgu i zadania maturalne. Wszystko krok po kroku, z rysunkami w układzie współrzędnych.
Zobacz kurs na Udemy4Zastosowania
Obwód trójkąta i jego rodzaj
|AB| = 4, |BC| = 3 (te same pierwsze współrzędne), |AC| = √(16 + 9) = 5. Obwód to 12. Ponieważ 3² + 4² = 5², z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt jest prostokątny, z kątem prostym przy B.
Tak samo sprawdza się, czy trójkąt jest równoramienny: jeśli dwie odległości są równe, ma dwa równe boki.
Środek i promień okręgu
Gdy znamy końce średnicy, środek okręgu to środek tej średnicy, a promień to połowa jej długości. Szczegółowo opisuję to we wpisie o równaniu okręgu.
Czwarty wierzchołek równoległoboku
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc środek AC jest środkiem BD. Środek AC: ((1 + 6)/2, (1 + 5)/2) = (3,5; 3). Wtedy D: (5 + x)/2 = 3,5, czyli x = 2, oraz (2 + y)/2 = 3, czyli y = 4.
Skrót: D = A + C − B, czyli (1 + 6 − 5, 1 + 5 − 2) = (2, 4).
Wzory na długość odcinka i współrzędne środka odcinka są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Pojawiają się w zadaniach zamkniętych, w których trzeba obliczyć odległość albo środek, i w zadaniach otwartych z geometrii analitycznej: przy wyznaczaniu okręgu, sprawdzaniu rodzaju trójkąta, szukaniu wierzchołków równoległoboku i wyznaczaniu prostych.
A. (1, −3)
B. (5, −5)
C. (2, −6)
D. (−1, 3)
Rozwiązanie: ((−4 + 6)/2, (2 + (−8))/2) = (1, −3). Odpowiedź A. Odpowiedź B to połowa różnic zamiast połowy sum, a D to wynik ze zmienionymi znakami.
Odpowiedź: S = (2, 6), r = 5, równanie (x − 2)² + (y − 6)² = 25. Promień można też policzyć jako odległość |SA| = √(9 + 16) = 5, co jest dobrym sprawdzeniem.
5Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to błąd znaku przy odejmowaniu liczb ujemnych w różnicach współrzędnych. Drugi to zapis (−12)² = −144. Trzeci to zapomnienie o pierwiastku na końcu, czyli podanie |AB|² zamiast |AB|. Czwarty to we wzorze na środek odejmowanie współrzędnych zamiast ich dodawania. Piąty to pomylenie kolejności współrzędnych: najpierw x, potem y. Szósty to przy zadaniu odwrotnym podanie środka zamiast drugiego końca odcinka.
6Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. |AB| dla A = (2, 3), B = (5, 7)
√(9 + 16) = 5
2. |AB| dla A = (−1, −1), B = (4, 11)
√(25 + 144) = 13
3. |AB| dla A = (0, 0), B = (3, 3)
3√2
4. Środek odcinka A = (2, 8), B = (6, −4)
(4, 2)
5. Środek odcinka A = (−5, 1), B = (−1, 7)
(−3, 4)
6. S = (0, 0) jest środkiem AB, A = (3, −2). Wyznacz B.
(−3, 2)
7. Odległość punktu (−6, 8) od początku układu?
10
8. Czy trójkąt A(0,0), B(2,0), C(1,3) jest równoramienny?
|AC| = |BC| = √10, tak
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” geometria analityczna ma osobny dział: odległość i środek odcinka, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe, równanie okręgu i zadania maturalne. Wcześniej jest funkcja liniowa i twierdzenie Pitagorasa, na których ten dział się opiera. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejKąty w okręgu zadania maturalne
- DalejRównanie prostej, proste równoległe i prostopadłe
- Przyda się teżUkład współrzędnych: odcięta, rzędna punktu, osie i funkcja
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
