Kąty 30°, 45° i 60° pojawiają się w zadaniach maturalnych tak często, że warto znać ich sinusy, cosinusy i tangensy bez zaglądania do tablic. Dobra wiadomość jest taka, że tych wartości nie trzeba wkuwać na ślepo. Wynikają z dwóch prostych trójkątów, a cała tabela opiera się na jednym wzorze. W tym wpisie pokazuję, skąd biorą się te wartości, jak je łatwo zapamiętać i jak ich używać w zadaniach.
1Tabela wartości
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 |
| cos α | 1 | 32 | 22 | 12 | 0 |
| tg α | 0 | 33 | 1 | 3 | nie istnieje |
Środkowe trzy kolumny to te, które pojawiają się najczęściej. Kąty 0° i 90° dodałam, bo pomagają zobaczyć wzór: sinus rośnie od 0 do 1, a cosinus maleje od 1 do 0.
2Skąd się biorą: dwa trójkąty
Kąt 45°: połowa kwadratu
Weźmy kwadrat o boku 1 i przetnijmy go przekątną. Powstaje trójkąt prostokątny równoramienny, którego oba kąty ostre mają po 45°. Przekątna z twierdzenia Pitagorasa ma długość √2.
Kąty 30° i 60°: połowa trójkąta równobocznego
Weźmy trójkąt równoboczny o boku 2. Wszystkie jego kąty mają 60°. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach 30°, 60° i 90°. Podstawa każdego z nich to połowa boku, czyli 1, a wysokość z Pitagorasa to √(2² − 1²) = √3.
Zwróć uwagę, że w trójkącie 30-60-90 najkrótszy bok leży naprzeciw kąta 30° i jest dokładnie połową przeciwprostokątnej. To bardzo przydatny fakt w geometrii.
3Jak zapamiętać tabelę
Pod pierwiastkiem kolejno 1, 2, 3, a w mianowniku zawsze 2. Cosinusy to te same liczby w odwrotnej kolejności. Tangens to sinus podzielony przez cosinus.
Wynika to z tożsamości cos α = sin(90° − α): cos 30° = sin 60°, cos 60° = sin 30°, a 45° jest „w środku”, więc sinus i cosinus są równe. Tangens łatwo policzyć: tg 30° = (1/2) : (√3/2) = 1/√3 = √3/3, a tg 60° = √3.
4Te same kąty w radianach
| Stopnie | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|
| Radiany | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
Gdy kąt jest w radianach, wartości funkcji są takie same: sin(π/6) = ½, cos(π/4) = √2/2 i tak dalej. Radiany pojawiają się głównie przy wykresach funkcji trygonometrycznych.
Funkcje trygonometryczne, ich wartości dla kątów 30°, 45° i 60° oraz zadania z ich użyciem mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje i dwa zestawy zadań maturalnych. Na kanale Po prostu Licz na YouTube znajdziesz też całą playlistę z trygonometrii.
Zobacz kurs na Udemy5Zastosowania
Trójkąty „ekierkowe”: stosunki boków
| Trójkąt | Stosunek boków | Przykład |
|---|---|---|
| 45° − 45° − 90° | a : a : a√2 | przyprostokątne 5, przeciwprostokątna 5√2 |
| 30° − 60° − 90° | a : a√3 : 2a | boki 4, 4√3, 8 |
Krótsza przyprostokątna, naprzeciw 30°, to połowa przeciwprostokątnej: 4. Dłuższa to 4√3, bo boki są w stosunku 1 : √3 : 2. To samo wychodzi z funkcji: 8 · sin 30° = 4 i 8 · cos 30° = 4√3.
Wzory z geometrii
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a to a · sin 60° = a32, a przekątna kwadratu o boku a to a2. Oba wzory są w zestawie wzorów maturalnych, ale teraz widać, skąd się biorą.
Obliczanie wartości wyrażeń
| Wyrażenie | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| sin 30° + cos 60° | 12 + 12 | 1 |
| tg 45° · sin 60° | 1 · 32 | 32 |
| (sin 45°)2 | (22)2 = 24 | 12 |
| tg 30° · tg 60° | 33 · 3 = 33 | 1 |
| 2 sin 30° cos 30° | 2 · 12 · 32 | 32 = sin 60° |
| cos230° − sin230° | 34 − 14 | 12 = cos 60° |
Dwa ostatnie wiersze to ciekawostka: 2 sin α cos α = sin 2α i cos²α − sin²α = cos 2α. To wzory na funkcje kąta podwojonego, które poznaje się na poziomie rozszerzonym.
Kąty rozwarte: 120°, 135°, 150°
Dzięki wzorom sin(180° − α) = sin α i cos(180° − α) = −cos α wartości dla kątów rozwartych też wynikają z tej tabeli:
| α | 120° | 135° | 150° |
|---|---|---|---|
| sin α | 32 | 22 | 12 |
| cos α | −12 | −22 | −32 |
| tg α | −3 | −1 | −33 |
Sinus kąta rozwartego jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne. Szczegóły są we wpisie o wzorach redukcyjnych.
Od wartości do kąta
Tabelę można czytać od drugiej strony. Jeśli α jest ostry i sin α = √2/2, to α = 45°. Jeśli tg α = √3, to α = 60°. Jeśli cos α = √3/2, to α = 30°.
Wartości funkcji trygonometrycznych dla 30°, 45° i 60° są w zestawie wzorów maturalnych CKE, ale używa się ich tak często, że warto je znać na pamięć. Pojawiają się w zadaniach zamkniętych z obliczaniem wartości wyrażeń, a przede wszystkim w geometrii: przy polu trójkąta ze wzoru P = ½ab sin γ, polu rombu i równoległoboku, wysokościach i przekątnych.
A. 54
B. 1
C. 34
D. 74
Rozwiązanie: sin²60° = (√3/2)² = 3/4, a tg 45° · cos 60° = 1 · ½ = ½. Razem 3/4 + 2/4 = 5/4. Odpowiedź A. Odpowiedź B wychodzi, gdy (√3/2)² policzy się jako ½ zamiast ¾. C to sam pierwszy składnik, a D wychodzi, gdy drugi składnik policzy się jako 1 zamiast ½.
Odpowiedź: pole 18√3, dłuższa przekątna 6√3. Zauważenie trójkątów równobocznych w rombie z kątem 60° bardzo skraca rachunki.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zamiana wartości dla 30° i 60°. Drugi to mylenie tg 30° = √3/3 z tg 60° = √3. Trzeci to zapis sin 45° = 1/√2 bez usunięcia niewymierności, gdy odpowiedzi w zadaniu są zapisane jako √2/2. Czwarty to (sin 60°)² liczone jako √3/4 zamiast 3/4. Piąty to przekonanie, że sin 60° = 2 sin 30°. Wtedy sin 60° byłoby równe 1, a to nieprawda. Szósty to przy kątach rozwartych zapomnienie o minusie przy cosinusie i tangensie.
7Sprawdź się
Oblicz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. sin 60° · cos 30°
√3/2 · √3/2 = 3/4
2. cos 45° + sin 45°
√2
3. tg 60° − tg 30°
√3 − √3/3 = 2√3/3
4. 4 sin 30° · tg 45°
4 · ½ · 1 = 2
5. cos 120°
−½
6. α ostry, cos α = ½. Ile wynosi α?
60°
7. Przyprostokątna 7 przy kącie 45°. Przeciwprostokątna?
7√2
8. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 10?
5√3
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” trygonometria ma trzy lekcje i dwa zestawy zadań maturalnych, a wartości dla 30°, 45° i 60° wracają potem w planimetrii i stereometrii: przy polach, wysokościach, przekątnych i bryłach. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: TrygonometriaTrygonometria od podstaw
- WcześniejFunkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
- DalejTożsamości trygonometryczne – wzory i zastosowania
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
