Funkcja wykładnicza opisuje wszystko, co rośnie albo maleje „przez mnożenie”: pieniądze na lokacie z procentem składanym, liczbę bakterii, które co godzinę się podwajają, czy ilość substancji promieniotwórczej, która co pewien czas zmniejsza się o połowę. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest funkcja wykładnicza, jak wygląda jej wykres, jakie ma własności i jak rozwiązywać proste równania i nierówności wykładnicze. Wszystko krok po kroku, z wykresami.
1Definicja
gdzie podstawa a jest liczbą dodatnią i różną od 1. Zmienna x stoi w wykładniku, i stąd nazwa funkcji.
Dlaczego takie założenia? Gdy a = 1, funkcja 1ˣ jest stale równa 1, czyli to zwykła funkcja stała. Gdy a jest ujemne, potęgi nie są określone dla wielu x: na przykład (−4)^½ = √−4 nie istnieje. Gdy a = 0, nie da się policzyć 0⁻¹. Dlatego zostawiamy tylko podstawy dodatnie różne od 1.
2Wykres funkcji y = 2ˣ
Policzmy kilka wartości. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a wykładnik zero daje 1:
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x | 18 | 14 | 12 | 1 | 2 | 4 | 8 |
Gdy x rośnie o 1, wartość funkcji się podwaja. W prawo wykres pnie się coraz szybciej, a w lewo coraz bardziej przybliża się do osi x, ale nigdy jej nie dotyka. Oś x jest więc asymptotą wykresu: prostą, do której wykres się zbliża, nie przecinając jej.
3Wykres funkcji y = (½)ˣ
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (12)x | 8 | 4 | 2 | 1 | 12 | 14 | 18 |
Teraz x rosnące o 1 oznacza połowienie wartości, więc funkcja maleje. Wykres y = (½)ˣ jest lustrzanym odbiciem y = 2ˣ względem osi y, bo (½)ˣ = 2⁻ˣ.
4Własności funkcji wykładniczej
| Własność | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| dziedzina | ℝ, wszystkie liczby | ℝ |
| zbiór wartości | (0; +∞) | (0; +∞) |
| monotoniczność | rosnąca | malejąca |
| punkt przecięcia z osią y | (0, 1), bo a⁰ = 1 | (0, 1) |
| miejsca zerowe | brak | brak |
| asymptota | oś x, czyli y = 0, z lewej strony | oś x, z prawej strony |
Wszystkie wykresy funkcji y = aˣ przechodzą przez punkt (0, 1), bo każda liczba różna od zera do potęgi 0 daje 1. Im większa podstawa a > 1, tym szybciej rośnie funkcja:
Funkcja wykładnicza ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną lekcję, razem z funkcją wymierną, a opiera się na potęgach i logarytmach, które są wcześniej w kursie. Wszystko rozpisane krok po kroku, z wykresami, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy5Przesunięcia wykresu
Wykresy funkcji wykładniczych przesuwa się tak samo jak inne wykresy. Zmienia się wtedy położenie asymptoty i punktu, który był w (0, 1).
| Funkcja | Przekształcenie wykresu 2ˣ | Asymptota | Zbiór wartości |
|---|---|---|---|
| 2x + 1 | o 1 w górę | y = 1 | (1; +∞) |
| 2x − 3 | o 3 w dół | y = −3 | (−3; +∞) |
| 2x − 2 | o 2 w prawo | y = 0 | (0; +∞) |
| −2x | odbicie względem osi x | y = 0 | (−∞; 0) |
Wykres y = 2ˣ − 3 jest przesunięty o 3 w dół. Asymptota też schodzi do y = −3, a funkcja ma teraz miejsce zerowe, bo przecina oś x.
6Odczytywanie podstawy z wykresu
Punkt należy do wykresu, więc a2 = 9. Stąd a = 3 albo a = −3, ale podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia, więc a = 3.
7Proste równania wykładnicze
Kluczowa własność: funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc jeśli aᵐ = aⁿ, to m = n. Dlatego równanie wykładnicze rozwiązujemy, zapisując obie strony jako potęgi tej samej podstawy i porównując wykładniki.
| Równanie | Ta sama podstawa | Wykładniki | Wynik |
|---|---|---|---|
| 2x = 32 | 2x = 25 | x = 5 | x = 5 |
| 3x − 1 = 27 | 3x − 1 = 33 | x − 1 = 3 | x = 4 |
| 5x = 125 | 5x = 5−2 | x = −2 | x = −2 |
| 4x = 8 | 22x = 23 | 2x = 3 | x = 32 |
| 2x = 1 | 2x = 20 | x = 0 | x = 0 |
Równanie 2ˣ = −4 nie ma rozwiązań, bo funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych. Gdy nie da się zapisać obu stron jako potęg tej samej podstawy, na przykład 2ˣ = 5, rozwiązaniem jest logarytm: x = log₂ 5.
8Proste nierówności wykładnicze
Robimy to samo co w równaniach, ale trzeba pamiętać o monotoniczności. Gdy a > 1, funkcja rośnie, więc znak nierówności zostaje. Gdy 0 < a < 1, funkcja maleje, więc znak nierówności się odwraca.
8 = 2³, więc 2ˣ > 2³. Podstawa 2 > 1, więc znak zostaje: x > 3.
4 = (½)⁻², bo (½)⁻² = 2² = 4. Zatem (½)ˣ > (½)⁻². Podstawa ½ < 1, więc znak się odwraca: x < −2. Sprawdzenie na wykresie (½)ˣ: wartości większe od 4 są po lewej stronie od x = −2.
9Funkcja wykładnicza w życiu
Wzrost bakterii
Kolonia liczy 100 bakterii i co godzinę ich liczba się podwaja. Po t godzinach bakterii jest N(t) = 100 · 2t. Po 5 godzinach: 100 · 2⁵ = 100 · 32 = 3200. Po 10 godzinach już 102 400.
Procent składany
Kapitał na lokacie z procentem składanym to K₀ · (1 + p/100)ⁿ, czyli funkcja wykładnicza liczby lat n o podstawie 1 + p/100 > 1. Dokładnie opisuję to we wpisie o procencie składanym i lokatach.
Połowiczny rozpad
Ilość substancji promieniotwórczej zmniejsza się o połowę w stałym czasie, zwanym czasem połowicznego rozpadu. Jeśli ten czas wynosi rok, a na początku jest 80 g, to po t latach zostaje m(t) = 80 · (12)t. Po 3 latach: 80 · ⅛ = 10 g. To funkcja malejąca, bo podstawa jest mniejsza od 1.
Funkcja wykładnicza pojawia się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych: trzeba odczytać wzór lub własności z wykresu, wyznaczyć podstawę z punktu należącego do wykresu, określić zbiór wartości po przesunięciu albo rozwiązać proste równanie wykładnicze. Najważniejsze rzeczy do zapamiętania to punkt (0, 1), asymptota i zbiór wartości (0; +∞) przed przesunięciem.
A. 3
B. 13
C. −3
D. 9
Rozwiązanie: a−2 = 9, czyli 1a2 = 9, więc a² = 1/9 i a = 1/3 (podstawa musi być dodatnia). Sprawdzenie: (⅓)⁻² = 3² = 9. Odpowiedź B. Odpowiedź A wychodzi, gdy pominie się minus w wykładniku.
Rozwiązanie: miejsce zerowe: 2ˣ − 4 = 0, czyli 2ˣ = 4 = 2², więc x = 2. Wykres powstaje z wykresu 2ˣ przez przesunięcie o 4 w dół, więc asymptota to y = −4, a zbiór wartości to (−4; +∞). Odpowiedź: miejsce zerowe x = 2, zbiór wartości (−4; +∞), asymptota y = −4.
10Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to mylenie funkcji wykładniczej 2ˣ z potęgową x². Drugi to przekonanie, że funkcja wykładnicza przyjmuje wartości ujemne, na przykład 2⁻³ = −8. Trzeci to zapominanie, że wykres przechodzi przez (0, 1), a nie przez (0, 0). Czwarty to brak odwrócenia znaku w nierówności, gdy podstawa jest mniejsza od 1. Piąty to przy przesunięciu w górę lub w dół zostawienie asymptoty y = 0 i zbioru wartości (0; +∞) bez zmian.
11Sprawdź się
Odpowiedz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz f(−2) dla f(x) = 3ˣ.
3⁻² = 1/9
2. Czy funkcja f(x) = (0,4)ˣ jest rosnąca?
nie, malejąca, bo 0 < 0,4 < 1
3. Podaj zbiór wartości f(x) = 3ˣ + 2.
(2; +∞)
4. Rozwiąż 2ˣ = 64.
x = 6
5. Rozwiąż 9ˣ = 27.
3²ˣ = 3³, x = 3/2
6. Rozwiąż 3ˣ < 81.
x < 4
7. Rozwiąż (⅓)ˣ ≥ 9.
(⅓)ˣ ≥ (⅓)⁻², znak się odwraca: x ≤ −2
8. Wykres y = aˣ przechodzi przez (3, 8). Podaj a.
a³ = 8, a = 2
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” funkcja wykładnicza jest omówiona razem z funkcją wymierną, po potęgach i logarytmach, a wcześniej są funkcja liniowa i kwadratowa. Dalej są równania i nierówności, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Każdy dział ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejUsuwanie niewymierności z mianownika: 4 typy zadań
- DalejCo to jest logarytm? Wyjaśnienie od zera
- Przyda się teżProcent składany i procent prosty: lokaty krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
