Usuwanie niewymierności z mianownika: 4 typy zadań
„Usuń niewymierność z mianownika” to polecenie, które pojawia się w szkole na każdym kroku. Chodzi o to, żeby w mianowniku ułamka nie było pierwiastka. Robi się to zawsze tym samym trikiem: mnożymy ułamek przez sprytnie dobraną jedynkę. W tym wpisie pokazuję cztery typy zadań, od najprostszego do tego ze wzorem skróconego mnożenia, i każdy rozwiązuję krok po kroku.
1O co chodzi i po co to robić
Liczba niewymierna to taka, której nie da się zapisać jako ułamek zwykły, na przykład 2 albo 3. „Usunąć niewymierność z mianownika” znaczy przekształcić ułamek tak, żeby w mianowniku była zwykła liczba wymierna, a pierwiastek przeszedł do licznika.
Po co? Taki zapis łatwiej porównywać, dodawać i szacować. Ile to jest 12? Trudno powiedzieć. A 22? To połowa z około 1,41, czyli około 0,71. W odpowiedziach do zadań, także na maturze, wyniki zwykle zapisuje się właśnie bez pierwiastka w mianowniku.
Mnożymy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie k. To tak, jakby pomnożyć ułamek przez 1, więc jego wartość się nie zmienia. Cała sztuka polega na tym, żeby wybrać takie k, po którym pierwiastek w mianowniku zniknie.
Przydadzą się dwa fakty: 2 · 2 = 2, czyli pierwiastek pomnożony przez siebie daje liczbę spod pierwiastka, oraz (a − b)(a + b) = a2 − b2, czyli wzór na różnicę kwadratów.
2Typ 1: sam pierwiastek w mianowniku
Mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, który stoi w mianowniku.
W mianowniku 2 · 2 = 2, więc pierwiastek znika.
Po usunięciu niewymierności warto sprawdzić, czy da się skrócić: 6 i 3 dzielą się przez 3.
3Typ 2: liczba razy pierwiastek w mianowniku
Gdy w mianowniku stoi na przykład 2√3, wystarczy pomnożyć przez sam pierwiastek, bez liczby przed nim. Liczba w mianowniku i tak jest wymierna, więc nie przeszkadza.
W mianowniku: 23 · 3 = 2 · 3 = 6. Potem skracamy 3 z 6.
Można też mnożyć przez 2√3 albo 3√5, czyli przez cały mianownik. Wynik po skróceniu wyjdzie ten sam, tylko liczby po drodze będą większe.
4Typ 3: suma albo różnica w liczniku
Mianownik jest taki jak w typie 1, ale w liczniku stoi kilka wyrazów. Mnożymy tak samo, tylko w liczniku trzeba pomnożyć przez pierwiastek każdy wyraz osobno.
Krok 1. Mnożymy licznik i mianownik przez √2
Krok 2. W liczniku mnożymy każdy wyraz przez √2
3 · 2 = 6, bo pierwiastki mnożymy, mnożąc liczby pod nimi. 2 · 2 = 22.
Krok 3. Upraszczamy mianownik
2 · 2 = 4 = 2.
√12 upraszczamy: 12 = 4 · 3 = 23. Na koniec dzielimy każdy wyraz licznika przez 2.
Usuwanie niewymierności z mianownika to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” aż cztery lekcje, po jednej na każdy typ zadań, a potem ten temat wraca w zestawach zadań z potęg i pierwiastków. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy5Typ 4: suma albo różnica z pierwiastkiem w mianowniku
Gdy w mianowniku jest na przykład √3 − 1, mnożenie przez √3 nie pomoże, bo pierwiastek zostanie: (√3 − 1) · √3 = 3 − √3. Tu przydaje się wzór na różnicę kwadratów: (a − b)(a + b) = a2 − b2. Jeśli podniesiemy pierwiastek do kwadratu, zniknie.
Wyrażenie sprzężone to ten sam mianownik ze zmienionym znakiem w środku. Do √a − b sprzężone jest √a + b, a do √a + b sprzężone jest √a − b. Po wymnożeniu w mianowniku zostaje (√a)² − b² = a − b², czyli liczba bez pierwiastka.
Krok 1. Mnożymy przez wyrażenie sprzężone
Krok 2. Mianownik ze wzoru na różnicę kwadratów
(3 − 1)(3 + 1) = (3)2 − 12 = 3 − 1 = 2.
Mianownik ma plus, więc mnożymy przez wyrażenie z minusem:
Wzór działa też, gdy w mianowniku są dwa pierwiastki:
Licznik też zawiera pierwiastek, więc po pomnożeniu w liczniku dostaniemy kwadrat sumy: (2 + 1)2 = 2 + 22 + 1 = 3 + 22. W mianowniku: 2 − 1 = 1.
6Bonus: pierwiastek trzeciego stopnia
Przy pierwiastku sześciennym mnożenie przez ten sam pierwiastek nie wystarczy, bo 32 · 32 = 34. Potrzebujemy trzech jednakowych czynników pod pierwiastkiem, więc mnożymy przez 34: 32 · 34 = 38 = 2.
Usuwanie niewymierności z mianownika pojawia się na maturze najczęściej w zadaniach zamkniętych z działu liczb rzeczywistych: trzeba wybrać, której liczbie jest równe dane wyrażenie. Często jest to typ 4, z wyrażeniem sprzężonym i wzorem na różnicę kwadratów. Ta sama umiejętność przydaje się też w trygonometrii i geometrii, gdzie wyniki z pierwiastkiem w mianowniku zapisuje się w postaci uproszczonej.
A. 5 + 12
B. 5 − 12
C. 5 + 1
D. 5 + 14
Rozwiązanie: mnożymy przez wyrażenie sprzężone 5 + 1. W mianowniku 5 − 1 = 4, więc 2(5 + 1)4 = 5 + 12. Odpowiedź A. Odpowiedź D to wynik bez skrócenia dwójki, a B to pomylony znak.
Rozwiązanie: usuwamy niewymierność z każdego ułamka. 12 − 1 = 2 + 12 − 1 = 2 + 1 oraz 12 + 1 = 2 − 12 − 1 = 2 − 1. Odejmujemy: (2 + 1) − (2 − 1) = 2. Lewa strona jest równa prawej, co kończy dowód. Uważaj na minus przed nawiasem: −(√2 − 1) to −√2 + 1.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to mnożenie tylko mianownika przez pierwiastek, bez licznika, co zmienia wartość ułamka. Drugi to mnożenie przez pierwiastek tylko jednego wyrazu licznika, gdy licznik jest sumą. Trzeci to mnożenie przez sam pierwiastek, gdy w mianowniku jest suma, na przykład √3 − 1, zamiast przez wyrażenie sprzężone. Czwarty to błędne skracanie liczby spod pierwiastka z liczbą w mianowniku. Piąty to niedokończone upraszczanie: zostawienie √12 zamiast 2√3 albo nieskrócenie ułamka na końcu.
8Sprawdź się
Usuń niewymierność z mianownika samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. 33
3√3/3 = √3
2. 15
√5/5
3. 822
8√2/(2 · 2) = 2√2
4. 2 + 12
(2 + √2)/2
5. 12 + 1
(√2 − 1)/(2 − 1) = √2 − 1
6. 65 − 2
6(√5 + √2)/(5 − 2) = 2(√5 + √2)
7. 33 − 6
3(3 + √6)/(9 − 6) = 3 + √6
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” pierwiastki i usuwanie niewymierności z mianownika są rozpisane na osobne lekcje, a potem przećwiczone w zestawach zadań maturalnych z potęg i pierwiastków. Dalej przechodzisz przez logarytmy, funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejDziałania na potęgach: wszystkie wzory z przykładami
- DalejFunkcja wykładnicza – wykres, własności i równania
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
