Procent składany i procent prosty: lokaty krok po kroku
Wpłacasz pieniądze na lokatę, a bank po jakimś czasie dopisuje ci odsetki. Ile dokładnie zarobisz, zależy od tego, czy odsetki liczone są tylko od wpłaconej kwoty, czy także od odsetek dopisanych wcześniej. Pierwszy sposób to procent prosty, drugi to procent składany. W tym wpisie wyjaśniam oba sposoby, pokazuję, skąd biorą się wzory, i liczę krok po kroku przykłady lokat: wieloletnich, kilkumiesięcznych, z częstszą kapitalizacją i z podatkiem.
1Kilka pojęć na start
| Pojęcie | Co oznacza |
|---|---|
| kapitał początkowy K0 | kwota, którą wpłacasz na lokatę |
| oprocentowanie p% | ile procent kwoty bank dopisze w ciągu roku; prawie zawsze podawane „w skali roku” |
| odsetki | pieniądze, które dopisuje bank, czyli twój zarobek |
| kapitalizacja | moment, w którym odsetki są dopisywane do kapitału i od tej chwili same zaczynają „pracować” |
| kapitał końcowy Kn | ile masz na lokacie po n okresach |
2Procent prosty
Przy procencie prostym odsetki liczone są zawsze od kwoty wpłaconej na początku. Co roku dostajesz tyle samo, a odsetki nie powiększają kwoty, od której liczy się kolejne.
Co roku przybywa tyle samo: K₀ · p/100. Po n latach przybywa n razy tyle.
Krok 1. Odsetki za jeden rok
0,04 · 5000 = 200 zł.
Krok 2. Odsetki za 3 lata
Co roku tyle samo, więc 3 · 200 = 600 zł.
Krok 3. Kapitał końcowy
Ze wzoru: 5000 · (1 + 3 · 0,04) = 5000 · 1,12 = 5600 zł.
3Procent składany
Przy procencie składanym odsetki po każdym okresie są dopisywane do kapitału. W następnym roku bank liczy odsetki już od większej kwoty, czyli także od odsetek zarobionych wcześniej. Mówi się, że odsetki „procentują”.
Skąd wzór? Po każdym roku kapitał rośnie o p%, czyli jest mnożony przez (1 + p/100). To ten sam mnożnik, co przy podwyżce o p%. Po roku masz K₀ · (1 + p/100), po dwóch latach to wszystko jeszcze raz razy (1 + p/100), i tak dalej.
n to liczba lat, a p to oprocentowanie roczne. Ten wzór jest w zestawie wzorów maturalnych CKE.
Krok 1. Mnożnik
1 + 4100 = 1,04.
Krok 2. Podstawiamy do wzoru
Krok 3. Rok po roku, żeby zobaczyć różnicę
| Rok | Procent prosty | Procent składany | Odsetki w tym roku (składany) |
|---|---|---|---|
| 0 | 5000,00 zł | 5000,00 zł | – |
| 1 | 5200,00 zł | 5200,00 zł | 4% z 5000 = 200,00 zł |
| 2 | 5400,00 zł | 5408,00 zł | 4% z 5200 = 208,00 zł |
| 3 | 5600,00 zł | 5624,32 zł | 4% z 5408 = 216,32 zł |
W pierwszym roku oba sposoby dają to samo. Od drugiego roku procent składany wygrywa, bo odsetki liczone są od coraz większej kwoty.
Na dłuższą metę różnica jest ogromna
Przy 3 latach różnica to tylko 24 zł. Ale zobacz, co się dzieje z 10 000 zł przy 5% rocznie przez 30 lat:
Procent prosty rośnie po linii prostej: co roku przybywa 500 zł, więc po 30 latach jest 25 000 zł. Procent składany przyspiesza, bo każdego roku przybywa więcej niż w poprzednim. Po 30 latach jest ponad 43 000 zł.
4Związek z ciągami
Jeśli znasz już ciągi, łatwo to zapamiętać. Kolejne kwoty przy procencie prostym tworzą ciąg arytmetyczny: co roku dodajemy tę samą kwotę (u nas 200 zł). Przy procencie składanym tworzą ciąg geometryczny: co roku mnożymy przez ten sam iloraz q = 1 + p/100 (u nas 1,04). Dlatego wzór na procent składany stoi w tablicach maturalnych tuż obok wzorów na ciąg geometryczny.
Lokaty, kredyty, procent składany i prosty mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje, a ciągi arytmetyczny i geometryczny cały dział z zadaniami maturalnymi. Wszystko rozwiązane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy5Kapitalizacja częściej niż raz w roku
Wiele lokat dopisuje odsetki co pół roku, co kwartał albo co miesiąc. Oprocentowanie nadal podaje się w skali roku, więc w jednym okresie bank dolicza tylko jego odpowiednią część.
m to liczba kapitalizacji w roku (2 dla półrocznej, 4 dla kwartalnej, 12 dla miesięcznej), a n to liczba lat. W każdym okresie odsetki wynoszą p/m procent, a okresów jest m · n.
| Kapitalizacja | Procent w okresie | Rachunek | Po roku |
|---|---|---|---|
| roczna | 6% | 10 000 · 1,06 | 10 600,00 zł |
| półroczna | 6% : 2 = 3% | 10 000 · 1,032 | 10 609,00 zł |
| kwartalna | 6% : 4 = 1,5% | 10 000 · 1,0154 | 10 613,64 zł |
| miesięczna | 6% : 12 = 0,5% | 10 000 · 1,00512 | 10 616,78 zł |
Im częstsza kapitalizacja, tym więcej zarabiasz, bo odsetki szybciej zaczynają same przynosić odsetki. Różnice nie są duże, ale przy porównywaniu ofert banków mają znaczenie.
6Lokata na kilka miesięcy
„5% w skali roku” nie oznacza, że po 3 miesiącach dostaniesz 5%. Tyle dostałbyś po całym roku. 3 miesiące to ¼ roku, więc dostajesz ¼ z 5%, czyli 1,25%.
7Podatek od odsetek
W Polsce od odsetek z lokat pobiera się podatek w wysokości 19%, potocznie nazywany podatkiem Belki. Bank potrąca go automatycznie, więc dostajesz 81% naliczonych odsetek. W zadaniach szkolnych zawsze jest napisane, czy podatek uwzględniamy, czy go pomijamy.
Podatek: 0,19 · 100 = 19 zł. Na rękę: 100 − 19 = 81 zł. Szybciej: 0,81 · 100 = 81 zł.
Przy procencie składanym podatek potrąca się przy każdej kapitalizacji. Wtedy w każdym okresie kapitał rośnie nie o p%, tylko o 0,81 · p%. Dla lokaty 5000 zł na 3 lata przy 4% rocznie: 0,81 · 4% = 3,24%, więc 5000 · 1,03243 ≈ 5501,92 zł.
8Zadanie odwrotne: ile trzeba wpłacić?
Znamy kapitał końcowy, a szukamy początkowego. Ze wzoru: K0 · 1,052 = 2000. Dzielimy przez 1,05² = 1,1025:
Kwoty pieniędzy zaokrąglamy do groszy. Sprawdzenie: 1814,06 · 1,1025 ≈ 2000,00 zł.
Wzór na procent składany z kapitalizacją roczną jest w zestawie wzorów maturalnych CKE, w części o ciągach, w zapisie Kn = K0 · (1 + p/100)n. Na maturze nie musisz go więc pamiętać, ale musisz umieć go użyć i wiedzieć, co oznacza każda litera. Kapitalizację częstszą niż roczna i podatek trzeba już zrozumieć samemu, tak jak w tym wpisie.
W zadaniach zamkniętych często nie trzeba nic liczyć do końca. Wystarczy rozpoznać, które wyrażenie poprawnie opisuje kapitał końcowy.
A. 2000 · 1,032 zł
B. 2000 · 1,06 zł
C. 2000 · 1,32 zł
D. 2000 · 0,032 zł
Rozwiązanie: mnożnik to 1 + 3/100 = 1,03, a lata są dwa, więc kapitał to 2000 · 1,03². Odpowiedź A. Odpowiedź B to procent prosty, a C to pomylony mnożnik (30% zamiast 3%).
Rozwiązanie: w każdym półroczu odsetki wynoszą 5% : 2 = 2,5%, a półrocza są dwa: 8000 · 1,0252 = 8000 · 1,050625 = 8405. Odpowiedź: 8405 zł. W zadaniu otwartym zapisz, ile wynosi oprocentowanie w okresie i ile jest okresów, bo za to też dostaje się punkty.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to stosowanie wzoru na procent składany, gdy w zadaniu jest procent prosty, albo odwrotnie. Szukaj słów „kapitalizacja” i „odsetki dopisywane do kapitału”. Drugi to liczenie pełnego rocznego oprocentowania dla lokaty kilkumiesięcznej. Trzeci to pomylony mnożnik, na przykład 1,4 zamiast 1,04 dla 4%. Czwarty to przy częstszej kapitalizacji dzielenie oprocentowania przez liczbę okresów i zapominanie o pomnożeniu wykładnika. Piąty to pomijanie podatku, gdy zadanie każe go uwzględnić, albo odwrotnie.
10Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. 4000 zł na 2 lata, 5% rocznie, procent prosty. Ile po 2 latach?
4000 · (1 + 2 · 0,05) = 4400 zł
2. 4000 zł na 2 lata, 5% rocznie, kapitalizacja roczna. Ile po 2 latach?
4000 · 1,05² = 4000 · 1,1025 = 4410 zł
3. 6000 zł na lokatę 6-miesięczną, 4% w skali roku. Ile wyniosą odsetki?
6000 · 0,04 · 6/12 = 120 zł
4. Odsetki wyniosły 250 zł. Ile zostanie po podatku 19%?
0,81 · 250 = 202,50 zł
5. 1000 zł na rok, 8% w skali roku, kapitalizacja kwartalna. Zapisz wyrażenie na kapitał końcowy.
1000 · 1,02⁴ (8% : 4 = 2% w kwartale, 4 kwartały)
6. Kolejne kwoty na lokacie z procentem składanym tworzą ciąg…
geometryczny, o ilorazie q = 1 + p/100
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” procenty prowadzą od procentu z liczby, przez obniżki i podwyżki, aż po lokaty, kredyty i procent składany, a dział o ciągach pokazuje, skąd biorą się te wzory. Każdy temat ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: ProcentyJak obliczyć procent z liczby? 5 przykładów krok po kroku
- WcześniejJak obliczyć Vat?
- Przyda się teżPotęgi jak obliczyć? Potęgi wzory
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
