Test chi kwadrat: czym jest i jak go policzyć

Test chi kwadrat (zapisywany χ², od greckiej litery chi) to jedno z najczęściej używanych narzędzi statystyki. Odpowiada na proste pytanie: czy to, co zaobserwowaliśmy, różni się od tego, czego się spodziewaliśmy, na tyle mocno, że nie da się tego zrzucić na przypadek? W tym wpisie wyjaśniam krok po kroku, jak działa ten test, a potem pokazuję go na klasycznym przykładzie ze 120 rzutami kostką.

1Po co jest test chi kwadrat

Wyobraź sobie, że rzucasz monetą 100 razy. Gdyby moneta była uczciwa, spodziewasz się około 50 orłów. Wyrzucasz 52. Czy moneta jest oszukana? Raczej nie, takie małe odchylenie zdarza się zupełnie przypadkiem. A gdyby wyszło 80 orłów? To już wygląda podejrzanie.

Gdzieś między 52 a 80 jest granica, za którą przestajemy wierzyć w przypadek. Test chi kwadrat wyznacza tę granicę w sposób matematyczny, zamiast „na oko”. Porównuje liczebności zaobserwowane z liczebnościami oczekiwanymi i mówi, czy różnica jest za duża, żeby była dziełem przypadku.

Test chi kwadrat ma dwa główne zastosowania. Test zgodności sprawdza, czy dane pasują do zakładanego rozkładu, na przykład czy kostka jest uczciwa. Test niezależności sprawdza, czy dwie cechy są ze sobą powiązane, na przykład czy płeć ma związek z ulubionym przedmiotem. Większość wpisu dotyczy testu zgodności, a test niezależności omawiam krócej na końcu.

2Hipotezy i poziom istotności

Każdy test statystyczny zaczyna się od dwóch hipotez, czyli dwóch przeciwnych twierdzeń.

Test zawsze sprawdza hipotezę zerową. Zakładamy, że jest prawdziwa, i patrzymy, czy dane bardzo jej przeczą. Przypomina to sąd: oskarżony jest niewinny, dopóki dowody nie są wystarczająco mocne.

Do tego potrzebny jest poziom istotności α. To ryzyko, jakie akceptujemy, że odrzucimy hipotezę zerową, choć była prawdziwa. Najczęściej przyjmuje się α = 0,05, czyli 5%. Oznacza to, że uczciwą kostkę mylnie uznamy za oszukaną najwyżej w 5 przypadkach na 100.

3Wzór na statystykę chi kwadrat

Każdy element wzoru ma swój sens. Różnica O − E mówi, o ile wynik odbiega od oczekiwań. Podnosimy ją do kwadratu, żeby odchylenia w górę i w dół się nie znosiły, bo −5 i +5 to tak samo duże odstępstwo. Dzielimy przez E, żeby uwzględnić skalę: odchylenie o 5 przy oczekiwanych 10 to dużo, a przy oczekiwanych 1000 prawie nic.

Wniosek jest prosty: im większe χ², tym bardziej dane odbiegają od oczekiwań. Gdy χ² jest bliskie zeru, dane prawie idealnie pasują do hipotezy zerowej.

4Stopnie swobody i wartość krytyczna

Samo χ² to jeszcze nie odpowiedź. Musimy wiedzieć, czy jest „duże” czy „małe”, a to zależy od liczby kategorii. Dlatego porównujemy je z wartością krytyczną odczytaną z tablic.

Wartość krytyczna zależy od dwóch rzeczy: od poziomu istotności α i od liczby stopni swobody. W teście zgodności liczba stopni swobody to liczba kategorii minus 1. Dla kostki mamy 6 kategorii (1, 2, 3, 4, 5, 6 oczek), więc 6 − 1 = 5 stopni swobody.

Dlaczego minus jeden? Bo gdy znasz łączną liczbę rzutów i liczebności pięciu kategorii, szósta jest już wyznaczona: to po prostu reszta. Swobodnie może się zmieniać tylko pięć z nich.

5Przykład: 120 rzutów kostką

Żeby wykonać to zadanie, rzucasz kostką 120 razy i po każdym rzucie stawiasz kreskę przy wyrzuconej liczbie oczek. Poniżej są przykładowe wyniki. U ciebie wyjdą inne liczby, ale sposób liczenia będzie dokładnie taki sam.

Krok 1. Formułujemy hipotezy

H₀: kostka jest uczciwa, każda liczba oczek wypada z prawdopodobieństwem ⅙. H₁: kostka nie jest uczciwa, przynajmniej jedna liczba oczek ma inne prawdopodobieństwo.

Krok 2. Liczymy liczebności oczekiwane

Gdyby hipoteza zerowa była prawdziwa, każda liczba oczek powinna wypaść w ⅙ wszystkich rzutów: E = 120 · 16 = 20. Spodziewamy się więc po 20 razy każdej liczby.

Krok 3. Zapisujemy wyniki i porównujemy

Pomarańczowe słupki to wyniki rzutów, a przerywana linia pokazuje oczekiwane 20. Żaden wynik nie jest dokładnie równy 20, ale tak właśnie wygląda przypadek: nawet uczciwa kostka nigdy nie daje idealnie równych liczb.

Krok 4. Liczymy statystykę chi kwadrat

Dla jedynki: 15 − 20 = −5, (−5)² = 25, a 25 : 20 = 1,25. Tak samo liczymy każdy wiersz, a na końcu dodajemy ostatnią kolumnę: χ² = 1,25 + 0,2 + 0,05 + 0,8 + 0,2 + 0,2 = 2,7.

Krok 5. Odczytujemy wartość krytyczną

Mamy 6 kategorii, więc 6 − 1 = 5 stopni swobody. Z tablicy dla α = 0,05 i 5 stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną 11,070.

Krok 6. Podejmujemy decyzję

Krzywa pokazuje, jakie wartości χ² wychodzą przy uczciwej kostce. Zdecydowana większość jest mała. Czerwony obszar na prawo od 11,070 to 5% najbardziej skrajnych wyników, czyli obszar odrzucenia. Nasza wartość 2,7 leży daleko od niego.

6Dla porównania: kostka podejrzana

Zobaczmy, jak wygląda ten sam test, gdy kostka jest wyraźnie oszukana i szóstka wypada za często. Przykładowe wyniki 120 rzutów:

Tym razem χ² = 50, co jest dużo więcej niż wartość krytyczna 11,070. Sama szóstka daje aż 39,2. Odrzucamy hipotezę zerową: kostka najprawdopodobniej nie jest uczciwa.

7Warunki, które muszą być spełnione

Test chi kwadrat działa poprawnie tylko przy kilku założeniach. Po pierwsze, dane muszą być liczebnościami, czyli liczbami wystąpień, a nie procentami ani średnimi. Po drugie, obserwacje muszą być niezależne: wynik jednego rzutu nie wpływa na następny. Po trzecie, każda liczebność oczekiwana E powinna wynosić co najmniej 5. Dlatego przy kostce warto rzucić przynajmniej 30 razy, a 120 rzutów to wygodna liczba, bo daje E = 20 dla każdej ściany.

8Test niezależności: krótko

Drugie zastosowanie testu chi kwadrat to sprawdzanie, czy dwie cechy są ze sobą powiązane. Dane zapisujemy wtedy w tabeli, w której wiersze to jedna cecha, a kolumny druga. Taką tabelę nazywa się tabelą kontyngencji.

H₀: płeć i upodobanie do matematyki są niezależne. H₁: są ze sobą powiązane.

Liczebność oczekiwaną dla każdej kratki liczymy ze wzoru E = suma wiersza · suma kolumnyliczba wszystkich. Na przykład dla chłopców, którzy lubią matematykę: E = 50 · 50100 = 25. Tutaj wszystkie kratki mają E = 25.

Każda kratka daje (O − E)² / E = 5² / 25 = 1, a kratki są cztery, więc χ² = 4. Liczba stopni swobody w teście niezależności to (liczba wierszy − 1) · (liczba kolumn − 1) = 1 · 1 = 1. Wartość krytyczna dla α = 0,05 to 3,841.

Zauważ, że wynik jest tuż za granicą. Przy ostrzejszym poziomie istotności α = 0,01 wartość krytyczna wynosi 6,635 i hipotezy zerowej już byśmy nie odrzucili. Dlatego zawsze trzeba podawać, przy jakim poziomie istotności wyciągamy wniosek.

9Wartość p: drugi sposób podjęcia decyzji

Programy statystyczne i arkusze kalkulacyjne zamiast wartości krytycznej podają zwykle wartość p. To prawdopodobieństwo, że przy prawdziwej hipotezie zerowej wyjdzie χ² co najmniej tak duże jak nasze. Decyzja jest wtedy prosta: jeśli p < α, odrzucamy H₀.

Wartość p równa 0,75 oznacza, że przy uczciwej kostce aż w 75% doświadczeń wyszłoby χ² równe 2,7 lub większe. Nasz wynik jest więc zupełnie zwyczajny.

10Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to liczenie testu na procentach zamiast na liczebnościach. Drugi to pomylenie stopni swobody: w teście zgodności to liczba kategorii minus 1, a nie liczba obserwacji minus 1. Trzeci to zapominanie o podniesieniu różnicy do kwadratu albo dzielenie przez O zamiast przez E. Czwarty to wniosek „udowodniliśmy hipotezę zerową”, choć test pozwala tylko stwierdzić brak podstaw do jej odrzucenia. Piąty to stosowanie testu, gdy liczebności oczekiwane są mniejsze niż 5.

11Sprawdź się

Odpowiedz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.