Hasłem do sejfu są w kolejności 37, 39 i 41 cyfra rozwinięcia dziesiętnego ułamka 1/7​.
Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

Odpowiedzi:
A. 215 B. 512 C. 251 D. 125

Rozwiązanie

Krok 1. Rozwiń ułamek 1/7​

Co to znaczy „rozwinąć ułamek 1/7”?

Kiedy mamy ułamek 1/7​, to znaczy:

„1 podzielić przez 7”.

Więc musimy sprawdzić, ile to wychodzi, kiedy próbujemy podzielić 1 przez 7.

Zróbmy dzielenie

1 : 7 nie dzieli się „na równo”, bo 7 nie mieści się w 1.
Dlatego dopisujemy przecinek i zera po przecinku (czyli 1,000000…) i dzielimy dalej.

Zacznijmy krok po kroku:

Krok	Działanie	Wynik cząstkowy
1 nie mieści się w 7 → 0,	10 : 7 = 1 (reszta 3)	pierwsza cyfra po przecinku = 1
30 : 7 = 4 (reszta 2)	druga cyfra = 4
20 : 7 = 2 (reszta 6)	trzecia cyfra = 2
60 : 7 = 8 (reszta 4)	czwarta cyfra = 8
40 : 7 = 5 (reszta 5)	piąta cyfra = 5
50 : 7 = 7 (reszta 1)	szósta cyfra = 7

I teraz uwaga – reszta wyszła znowu 1, czyli wróciliśmy do początku!
To znaczy, że te same cyfry będą się teraz powtarzać w tej samej kolejności.

Co z tego wychodzi?

Kiedy zapiszemy ten wynik, dostajemy

I te cyfry 142857 powtarzają się w nieskończoność, bez końca.
Dlatego mówimy, że ten ułamek ma okres dziesiętny 6 cyfr, czyli co 6 cyfr wzór się powtarza:

👉 1 4 2 8 5 7 | 1 4 2 8 5 7 | 1 4 2 8 5 7 | …

Co to znaczy „cyfra o numerze 37, 39 i 41”?

Po przecinku mamy nieskończenie wiele cyfr, ale one idą w tej samej kolejności.
Więc jeśli chcemy znaleźć np. 37. cyfrę po przecinku, to nie musimy wypisywać wszystkich 37 cyfr.
Wystarczy zobaczyć, która to w kolejności w powtarzającym się wzorze 142857.

Wzór ma 6 cyfr, więc po każdej 6. cyfra znowu jest taka sama jak na początku.

Żeby się dowiedzieć, która to cyfra, robimy:

To znaczy: 37. cyfra to ta sama, co pierwsza w wzorze (bo reszta = 1).
Czyli 1.

Podobnie:

• 39 : 6 → reszta 3 → trzecia cyfra w wzorze = 2
• 41 : 6 → reszta 5 → piąta cyfra w wzorze = 5

Nie widzisz tego?

Metoda kolorowa (wzór jak koraliki)

Wyobraź sobie, że cyfry z rozwinięcia 17\frac{1}{7}71​ to korale na naszyjniku, które powtarzają się w kółko:

🔵1 🔴4 🟢2 🟡8 🟣5 ⚫7 🔵1 🔴4 🟢2 🟡8 🟣5 ⚫7 🔵1 🔴4…

Każde 6 koralików to jeden pełny wzór (czyli „okres”).
Po ostatnim znowu zaczyna się ten sam wzór.

Jak znaleźć np. 37. koralik?

Nie musisz liczyć wszystkich po kolei aż do 37.
Możesz zauważyć, że co 6 koralików wzór się resetuje.

Więc wystarczy zobaczyć, gdzie wypada 37. koralik w tym powtarzającym się wzorze.

Każdy pełny zestaw (czyli 142857) ma 6 koralików:
6, 12, 18, 24, 30, 36… i potem zaczyna się od nowa.

36 to ostatni z szóstego zestawu.
Więc 37. koralik to pierwszy z nowego wzoru → 🔵 1

Teraz 39. koralik:

Po 36 idzie 37 (1), 38 (4), 39 (2) → 🟢 2

I 41. koralik:
37 (1), 38 (4), 39 (2), 40 (8), 41 (5) → 🟣 5

Zatem:
➡️ 37. = 1
➡️ 39. = 2
➡️ 41. = 5

Hasło: 125

Metoda z kartkami papieru (do rozpisania samemu)

Weź kartkę i napisz kilka razy pod sobą wzór:

142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857

Teraz policz po prostu cyfry do przodu — nie musisz liczyć wszystkich,
bo widać, że co 6 cyfr wszystko się powtarza.

Więc:

• 6, 12, 18, 24, 30, 36 — to końce każdego wiersza,
• następna cyfra (37) to pierwsza z nowego wiersza, czyli 1,
• 38 to 4, 39 to 2, 40 to 8, 41 to 5.

Dodatkowy, bardzo prosty sposób (na skróty)

Można to zapamiętać tak:

Jeśli coś się powtarza co 6 cyfr,
to wystarczy zobaczyć, które miejsce w tym wzorze zajmuje nasza cyfra.

Czyli:

• 37 ÷ 6 → reszta 1 → pierwsza cyfra = 1
• 39 ÷ 6 → reszta 3 → trzecia cyfra = 2
• 41 ÷ 6 → reszta 5 → piąta cyfra = 5

Ale jeśli ktoś nie ogarnia dzielenia z resztą — nie szkodzi.
Wystarczy rozpisać wzór parę razy i po prostu policzyć,
gdzie wypada dana cyfra.

I znów mamy 125