✦ Matura 2026: kurs od podstaw do pełnych zadań Dołącz →
Diagramy i histogramy to rysunki, które pokazują dane liczbowe tak, żeby dało się je ogarnąć jednym spojrzeniem. Zamiast czytać długą listę liczb, od razu widzisz, czego jest najwięcej, a czego najmniej. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest diagram, czym jest histogram i czym się różnią, a potem krok po kroku pokazuję, jak je czytać i jak je rysować.
Wszystko zaczyna się od zebranych danych, na przykład odpowiedzi uczniów w ankiecie. Zanim cokolwiek narysujesz, porządkujesz je w tabeli: wypisujesz możliwe odpowiedzi i obok liczbę osób, które je wybrały. Ta liczba to liczebność, a taka tabela to szereg rozdzielczy.
| Owoc | Liczebność | Część klasy | Procent |
|---|---|---|---|
| jabłko | 8 | 825 | 32% |
| banan | 6 | 625 | 24% |
| truskawka | 7 | 725 | 28% |
| gruszka | 4 | 425 | 16% |
| razem | 25 | 1 | 100% |
Procent liczymy, dzieląc liczebność przez liczbę wszystkich osób i mnożąc przez 100%: na przykład 8 : 25 = 0,32, czyli 32%. Suma procentów zawsze musi dać 100%, a suma liczebności liczbę wszystkich badanych. Z tych danych narysujemy kilka różnych diagramów.
Diagram to graficzne przedstawienie danych statystycznych. Pokazuje za pomocą figur, na przykład słupków, wycinków koła albo punktów połączonych linią, jak często występują poszczególne wartości albo jak jedna wielkość zmienia się w zależności od drugiej.
Najczęściej spotkasz trzy rodzaje diagramów: słupkowy, kołowy i liniowy. Każdy nadaje się do czegoś innego.
Każda odpowiedź ma swój słupek, a wysokość słupka odpowiada liczebności. Słupki mają jednakową szerokość i stoją w odstępach, bo dotyczą osobnych, niepowiązanych ze sobą kategorii. Tu kolejność słupków nie ma znaczenia: jabłko mogłoby stać na końcu.
1. Narysuj dwie osie. Na poziomej wypisz kategorie, na pionowej liczebności.
2. Dobierz podziałkę na osi pionowej tak, żeby zmieścił się najwyższy słupek. Oś zaczynaj od zera.
3. Narysuj słupki tej samej szerokości, z równymi odstępami, o wysokości równej liczebności.
4. Podpisz osie i nadaj diagramowi tytuł.
Całe koło to 100% badanych, czyli wszyscy. Każda odpowiedź dostaje wycinek koła proporcjonalny do swojej części. Diagram kołowy dobrze pokazuje, jaką częścią całości jest każda kategoria.
Żeby narysować diagram kołowy, trzeba policzyć kąt każdego wycinka. Całe koło to 360°, a 1% to 360° : 100 = 3,6°. Mnożymy więc procent przez 3,6°.
| Owoc | Procent | Kąt wycinka |
|---|---|---|
| jabłko | 32% | 32 · 3,6° = 115,2° |
| banan | 24% | 24 · 3,6° = 86,4° |
| truskawka | 28% | 28 · 3,6° = 100,8° |
| gruszka | 16% | 16 · 3,6° = 57,6° |
| razem | 100% | 360° |
Kąty można też liczyć bez procentów: liczebność dzielimy przez liczbę wszystkich i mnożymy przez 360°. Dla jabłka: 8/25 · 360° = 115,2°. Na koniec sprawdzamy, czy wszystkie kąty dają razem 360°.
Diagram liniowy pokazuje, jak coś zmienia się w czasie. Wartości zaznaczamy punktami i łączymy je linią, dzięki czemu od razu widać, kiedy rośnie, a kiedy spada. Tu kolejność na osi poziomej ma znaczenie, bo to kolejne dni, miesiące albo lata.
Z wykresu odczytasz na przykład, że najcieplej było w sobotę (8°C), najzimniej w poniedziałek (−2°C), a największy wzrost temperatury z dnia na dzień wynosił 3°C (z poniedziałku na wtorek, z wtorku na środę i z czwartku na piątek). Temperatura spadła dwa razy: ze środy na czwartek o 1°C i z soboty na niedzielę o 3°C.
Histogram to diagram słupkowy dla danych pogrupowanych w przedziały, tak zwane klasy. Słupki przylegają do siebie, bo przedziały następują jeden po drugim bez przerw. Szerokość słupka odpowiada szerokości przedziału, a wysokość liczebności tego przedziału (przy przedziałach równej szerokości).
Histogramu używamy wtedy, gdy dane to liczby, które mogą przyjmować bardzo wiele różnych wartości: wzrost, masa, czas, wynik w punktach. Gdyby narysować osobny słupek dla każdego wzrostu (151 cm, 152 cm, 153 cm…), wyszłoby ich mnóstwo i nic by z nich nie wynikało. Dlatego łączymy wartości w przedziały.
| Wzrost (cm) | ⟨150; 155) | ⟨155; 160) | ⟨160; 165) | ⟨165; 170) | ⟨170; 175) |
|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 3 | 6 | 9 | 7 | 5 |
Zapis ⟨160; 165) oznacza wzrost od 160 cm włącznie do 165 cm wyłącznie. Uczeń, który ma dokładnie 165 cm, należy już do następnego przedziału. Dzięki temu każdy wynik trafia do dokładnie jednego przedziału.
Najmniejsza wartość to 5, największa 35, więc przedziały od 0 do 40 co 10 minut obejmą wszystkie dane. Przedziały muszą mieć tę samą szerokość i nie mogą na siebie zachodzić.
| Przedział | Wartości | Liczebność |
|---|---|---|
| ⟨0; 10) | 5, 7, 8, 9 | 4 |
| ⟨10; 20) | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19 | 8 |
| ⟨20; 30) | 20, 22, 24, 25, 27, 28 | 6 |
| ⟨30; 40) | 31, 35 | 2 |
| razem | 20 |
Uważaj na wartość 20: należy do przedziału ⟨20; 30), a nie ⟨10; 20), bo prawy koniec przedziału jest otwarty. Na koniec sprawdzamy, czy suma liczebności to 20, czyli liczba wszystkich uczniów. Zgadza się: 4 + 8 + 6 + 2 = 20.
Na osi poziomej zaznaczamy granice przedziałów, na pionowej liczebności. Słupki rysujemy jeden przy drugim, bez przerw.
Z histogramu od razu widać, że większość uczniów dojeżdża od 10 do 20 minut, a tylko dwóch potrzebuje 30 minut lub więcej.
| Diagram słupkowy | Histogram | |
|---|---|---|
| Jakie dane | kategorie, np. owoce, kolory, oceny | liczby pogrupowane w przedziały, np. wzrost, czas |
| Słupki | z odstępami | przylegają do siebie |
| Oś pozioma | nazwy kategorii | ciągła skala liczbowa z granicami przedziałów |
| Kolejność słupków | można ją zmieniać | stała, od najmniejszych wartości do największych |
Odstępy między słupkami w diagramie słupkowym podkreślają, że kategorie są osobne. Brak odstępów w histogramie podkreśla, że przedziały tworzą jedną ciągłą skalę: gdzie kończy się jeden przedział, tam zaczyna się następny.
Wróćmy do histogramu wzrostu 30 uczniów. Pokażę, jakie pytania pojawiają się w zadaniach i jak na nie odpowiadać.
| Pytanie | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|
| Ilu uczniów ma co najmniej 165 cm? | dodajemy dwa ostatnie przedziały: 7 + 5 | 12 |
| Jaki to procent klasy? | 12/30 · 100% = 40% | 40% |
| Ilu uczniów ma mniej niż 160 cm? | 3 + 6 | 9 |
| Który przedział jest najliczniejszy? | najwyższy słupek, 9 uczniów | ⟨160; 165) |
| Czy wiadomo, ilu uczniów ma dokładnie 162 cm? | histogram pokazuje tylko liczebność całego przedziału | nie |
Z histogramu nie znamy dokładnych wartości, więc średnią liczymy w przybliżeniu. Każdy przedział zastępujemy jego środkiem i traktujemy tak, jakby wszyscy uczniowie z przedziału mieli dokładnie ten wzrost.
| Przedział | Środek | Liczebność | Środek · liczebność |
|---|---|---|---|
| ⟨150; 155) | 152,5 | 3 | 457,5 |
| ⟨155; 160) | 157,5 | 6 | 945 |
| ⟨160; 165) | 162,5 | 9 | 1462,5 |
| ⟨165; 170) | 167,5 | 7 | 1172,5 |
| ⟨170; 175) | 172,5 | 5 | 862,5 |
| razem | 30 | 4900 |
Średnia: 4900 : 30 ≈ 163,3 cm. Środek przedziału to średnia jego końców, na przykład (150 + 155) : 2 = 152,5.
Autobusem: 40% z 400 = 0,4 · 400 = 160 uczniów. Pieszo: 0,35 · 400 = 140, rowerem: 0,15 · 400 = 60. Różnica: 140 − 60 = 80. Szybciej: różnica procentów to 35% − 15% = 20%, a 20% z 400 to 80.
Dodajemy wysokości wszystkich słupków: 2 + 4 + 8 + 10 + 5 + 1 = 30.
Każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali, i dodajemy: 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 8 + 4 · 10 + 5 · 5 + 6 · 1 = 2 + 8 + 24 + 40 + 25 + 6 = 105. Średnia: 105 : 30 = 3,5.
Mediana to wartość środkowa po ustawieniu ocen od najmniejszej. Uczniów jest 30, więc środek wypada między 15. a 16. oceną. Liczymy po kolei: oceny 1 to pozycje 1–2, oceny 2 to pozycje 3–6, oceny 3 to pozycje 7–14, oceny 4 to pozycje 15–24. Zarówno 15., jak i 16. ocena to 4, więc mediana wynosi 4.
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej, czyli najwyższy słupek: ocena 4.
Pierwszy błąd to rysowanie histogramu z odstępami między słupkami, jak w zwykłym diagramie słupkowym. Drugi to przedziały, które na siebie zachodzą albo mają różną szerokość. Trzeci to kąty wycinków na diagramie kołowym, które nie dają razem 360°, zwykle przez błąd w procentach. Czwarty to oś pionowa, która nie zaczyna się od zera: wtedy różnice między słupkami wyglądają na dużo większe, niż są naprawdę. Piąty to mylenie liczebności z procentami przy odczytywaniu diagramu kołowego. Szósty to szukanie w histogramie dokładnych wartości, których tam nie ma.
Odpowiedz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
W histogramie słupki przylegają do siebie, bo przedstawiają kolejne przedziały liczbowe. W diagramie słupkowym są odstępy, bo kategorie są osobne.
25 · 3,6° = 90°, czyli ćwierć koła.
12/50 · 360° = 86,4°
do ⟨30; 40), bo w ⟨20; 30) liczba 30 nie jest zawarta.
4 + 7 + 5 + 4 = 20
(40 + 50) : 2 = 45
diagram liniowy, bo pokazuje zmiany w czasie
Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:
„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”
to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.
Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.
W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:
Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.
Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.
Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.
Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎
zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.
3–4 miesiące
4–6 tygodni
