Treść zadania:

Suma trzech liczb a,b,c tworzących rosnący ciąg geometryczny jest równa 26, a ich iloczyn jest równy 216.

Wyznacz liczby a,b,c.

Krok 1. Co wiemy o ciągu geometrycznym

W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną pozostałych:

Można też zapisać ciąg jako:

gdzie r – to iloraz ciągu.

Krok 2. Zapisz dane z treści zadania:

Krok 3. Upraszczamy drugi warunek:

Krok 4. Podstaw do pierwszego równania:

Podstawiamy do sumy:

Krok 5. Mnożymy przez r:

Krok 6. Dzielimy przez 2:

Krok 7. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Krok 8. Sprawdzamy, który ciąg jest rosnący:

Krok 9. Liczymy liczby:

Odpowiedź: a=2, b=6, c=18

Czyli nasz ciąg to 2, 6, 18 — ładny, rosnący i pasuje: 2 + 6 + 18 = 26, a 2·6·18 = 216.

MIEJSCA GDZIE MOŻESZ MIEĆ PROBLEMU

Co to w ogóle jest ciąg geometryczny?

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczb, w którym każdą kolejną liczbę dostajesz przez pomnożenie poprzedniej przez to samo coś — przez tę samą liczbę, którą nazywamy ilorazem i oznaczamy ją literką r.

Czyli jak to wygląda w praktyce?

Załóżmy, że pierwsza liczba to aaa.
Jeśli iloraz rrr to na przykład 2, to wtedy:

I tak to zapisujemy:

Co to znaczy „rosnący ciąg geometryczny”?

To znaczy, że te liczby robią się coraz większe.
Żeby tak było, iloraz rrr musi być większy niż 1, bo wtedy każdą kolejną liczbę mnożysz przez coś większego od 1 (np. przez 2, 3, 1.5 itd.).

Przykład:

Jeśli a=2 i r=3, to:

• pierwsza liczba: 2
• druga liczba: 2×3=6
• trzecia liczba: 6×3=18

czyli mamy ciąg: 2, 6, 18

I właśnie takiego typu ciąg mamy w zadaniu 💡

Więc cały ten zapis:

to po prostu sposób pokazania, że każda kolejna liczba w ciągu geometrycznym powstaje przez pomnożenie poprzedniej przez ten sam iloraz r.

Nie ma w tym żadnej magii – to tylko skrót matematyczny na coś, co można powiedzieć zwyczajnie:

„Każda następna liczba to poprzednia pomnożona przez to samo.”

Co to znaczy po ludzku?

Mamy trzy liczby:
pierwsza a,
druga b,
trzecia c.

One rosną i tworzą ciąg geometryczny — czyli każda kolejna liczba to poprzednia razy jakaś stała liczba rrr.

Więc możemy je zapisać tak:

• pierwsza liczba → a
• druga liczba → a⋅r
• trzecia liczba → a⋅r2

To znaczy:

zaczynamy od aaa, potem mnożymy przez r, a potem jeszcze raz przez r.

Teraz „suma trzech liczb wynosi 26”

To znaczy, że:

Czyli po prostu dodajemy te trzy liczby do siebie i wychodzi 26.

A „iloczyn tych liczb to 216”

To znaczy, że jeśli je pomnożysz:

czyli wszystkie trzy razem – pierwsza × druga × trzecia = 216.

No i teraz mamy dwa równania:

Czyli całe zadanie polega na tym, żeby znaleźć takie liczby a i r, które spełniają oba te warunki jednocześnie.

I stąd potem dalej wychodzą te wszystkie kolejne kroki z obliczeniami — ale właśnie tu, w kroku 2, najważniejsze jest zrozumieć, że nie robimy żadnej magii — tylko zapisujemy po matematycznemu to, co w treści było napisane słowami.

a to skąd się wzięło?

„Iloczyn trzech liczb jest równy 216.”

W matematyce iloczyn to po prostu mnożenie.
Mnożymy nasze trzy liczby:

Ale my wiemy, że to ciąg geometryczny:

czyli:

Bo:

• pierwsza liczba to a,
• druga to a razy r,
• trzecia to a razy r razy r, czyli ar^2.

Teraz podstawiamy to do wzoru na iloczyn:

Teraz rozpiszmy to dokładnie:

Kiedy mnożysz te trzy wyrażenia, wszystko, co ma literkę „a”, się łączy,
a wszystko z „r” też się łączy.

Czyli mamy:

I mamy też:

bo dodajemy wykładniki przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie.

Więc po połączeniu:

No i teraz zauważ:

bo znaczy „mnożę aaa i rrr, a potem podnoszę do potęgi 3”.

Zatem mamy:

I to jest coś, co wygląda już prościej.
Żeby „pozbyć się trójki” (czyli tej potęgi trzeciej), robimy pierwiastek trzeciego stopnia z obu stron:

A pierwiastek trzeciego stopnia z 216 to 6, bo:

I stąd wychodzi:

Czyli to całe „(a r)^3 = 216 → a r = 6” to po prostu wynik porządkowego rozpisania mnożenia i pierwiastkowania.

Dlaczego taki wynik?

Przypomnijmy sobie:

mieliśmy trzy liczby w ciągu geometrycznym:

czyli:

• pierwsza to aaa,
• druga to „pierwsza razy rrr”,
• trzecia to „pierwsza razy rrr i jeszcze raz razy rrr”.

Co robi z nami ten r?

To jest właśnie iloraz — liczba, przez którą mnożymy, żeby przejść do kolejnej liczby.

Można o tym myśleć tak:

„Za każdym razem mnożę przez rrr. I to, co się dzieje z ciągiem, zależy od tego, jaka jest ta liczba rrr.”

Teraz mamy dwa przypadki:

Jeśli r>1

czyli np. r=2

To wtedy każdą kolejną liczbę mnożysz przez coś większego niż 1.
Czyli każda następna liczba jest większa od poprzedniej.
ciąg rosnący.

Przykład:
a=2,r=3
→ 2,6,18 – coraz większe, więc rośnie.

Jeśli 0<r<1

czyli np. r=1/2

To wtedy każdą kolejną liczbę mnożysz przez coś mniejszego niż 1,
czyli zmniejszasz ją.
👉 ciąg malejący.

📘 Przykład:
a=9,r=1/3
→ 9,3,1 – coraz mniejsze, więc maleje.

No i teraz w naszym zadaniu:

Mieliśmy dwa możliwe r:

Więc:

Wniosek:

Skoro w treści zadania było powiedziane, że ciąg jest rosnący,
to wybieramy r=3.

Czyli ciąg to: a=2, b=6, c=18.

I dlatego właśnie wybieramy r = 3, bo tylko wtedy liczby idą w górę, a nie w dół.