Zadanie 31. (0–2)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Dane z zadania:

• przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny,
• bok trójkąta ma długość 6.

Krok 1. Co to znaczy „przekrój osiowy”?

To trójkąt, który przechodzi przez wierzchołek stożka i jego oś symetrii.
W tym przekroju:

• wysokość trójkąta to wysokość stożka h,
• połowa podstawy trójkąta to promień stożka r,
• bok trójkąta to tworząca stożka l.

Czyli mamy: l=6

Krok 2. Wysokość trójkąta równobocznego

Dla trójkąta równobocznego o boku a=6:

Wysokość tego trójkąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne:

• przeciwprostokątna = 6 (czyli ),
• przyprostokątne: r i h.

Krok 3. Wyznacz rrr i hhh

Z przekroju:

Krok 4. Wzór na objętość stożka

Podstawiamy:

Podsumowanie logiczne:

• przekrój osiowy = trójkąt równoboczny → tworząca = bok = 6,
• promień = połowa boku = 3,

I jeszcze raz inaczej:

1. Co to znaczy, że „przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o boku 6”?

To znaczy, że jeśli przetniemy stożek przez jego środek (oś), to w przekroju zobaczymy trójkąt równoboczny – czyli taki, który ma wszystkie boki równe i każdy kąt po 60°.
Każdy bok tego trójkąta ma długość 6.

2. Co w stożku odpowiada bokom tego trójkąta?

W tym przekroju:

• dwa boki trójkąta to tworzące stożka (czyli te skośne linie od wierzchołka do brzegu podstawy),
• podstawa trójkąta to średnica koła podstawy stożka.

3. Skoro bok trójkąta = 6, to:

Podstawa trójkąta = średnica koła podstawy stożka = 6.

A promień to połowa średnicy, więc:

Czyli:

• bok trójkąta = 6
• średnica koła = 6
• promień koła (czyli promień stożka) = 3

Obliczamy wysokość, wiemy:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o boku 6.

To znaczy, że cały ten przekrój to trójkąt, w którym:

• każdy bok = 6,
• każdy kąt = 60°.

2. Co jest czym w stożku?

W tym trójkącie:

• skośne boki (po bokach) to tworzące stożka,
• podstawa trójkąta to średnica podstawy stożka,
• wysokość trójkąta to wysokość stożka (czyli od czubka do środka koła podstawy).

3. Jak znaleźć wysokość w trójkącie równobocznym?

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne.
W takim trójkącie:

• przeciwprostokątna = 6 (bok trójkąta),
• połowa podstawy = 3 (bo 6 ÷ 2),
• a ta szukana wysokość to hhh.

Z twierdzenia Pitagorasa:

Wysokość stożka:

Czyli:
Trójkąt miał bok 6 → połowa podstawy 3 → z Pitagorasa wyszło 3 pierwiastek z 3​.
To właśnie wysokość stożka.