Gdy doświadczenie losowe ma kilka etapów, na przykład losujemy dwie kule jedna po drugiej albo strzelamy dwa razy, najwygodniej narysować drzewko. Każdy etap to rozgałęzienie, a na gałęziach zapisuje się prawdopodobieństwa. Dzięki temu nie trzeba wypisywać wszystkich wyników, a obliczenia są bardzo przejrzyste. W tym wpisie pokazuję, jak budować drzewko i jak z niego liczyć, na przykładach krok po kroku.
1Dwie zasady drzewka
1. Prawdopodobieństwo jednej ścieżki od korzenia do liścia to iloczyn prawdopodobieństw na jej gałęziach.
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia to suma prawdopodobieństw wszystkich ścieżek, które mu sprzyjają.
Kontrola: prawdopodobieństwa na gałęziach wychodzących z jednego punktu sumują się do 1, a prawdopodobieństwa wszystkich liści też dają razem 1.
To te same reguły co w kombinatoryce: mnożymy etapy następujące po sobie („i”), a dodajemy przypadki, które się wykluczają („lub”). Opisałam je we wpisie o regule mnożenia i dodawania.
2Losowanie bez zwracania
Budujemy drzewko
W pierwszym losowaniu kula jest biała z prawdopodobieństwem 3/5, a czarna z 2/5. W drugim losowaniu w urnie są już tylko 4 kule, a ich skład zależy od tego, co wylosowaliśmy wcześniej. Po białej zostają 2 białe i 2 czarne, a po czarnej 3 białe i 1 czarna.
Obie białe
Jedna ścieżka: biała, biała. P = 35 · 24 = 620 = 310.
Różne kolory
Dwie ścieżki: biała–czarna oraz czarna–biała. P = 620 + 620 = 1220 = 35.
Kontrola: 6/20 + 6/20 + 6/20 + 2/20 = 20/20 = 1. Wszystkie liście razem dają 1, więc drzewko jest poprawne.
3Losowanie ze zwracaniem
Gdy po wylosowaniu kula wraca do urny, w drugim losowaniu skład jest taki sam jak w pierwszym. Prawdopodobieństwa na drugim poziomie drzewka są wtedy takie same jak na pierwszym.
Porównaj: bez zwracania P(obie białe) = 3/10 = 0,3, a ze zwracaniem 9/25 = 0,36. Ze zwracaniem jest większe, bo biała kula „wraca” i może zostać wylosowana drugi raz.
Prawdopodobieństwo ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobny dział: prawdopodobieństwo klasyczne, zdarzenie przeciwne, drzewka i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Wcześniej jest kombinatoryka, na której to wszystko się opiera.
Zobacz kurs na Udemy4Dwa strzały
Sprzyjają trzy ścieżki: 0,49 + 0,21 + 0,21 = 0,91. Szybciej przez zdarzenie przeciwne: „ani razu nie trafi” to jedna ścieżka 0,3 · 0,3 = 0,09, więc P = 1 − 0,09 = 0,91.
5Wybór urny
Białą kulę można wylosować na dwa sposoby: z urny I albo z urny II. P = 210 + 410 = 610 = 35.
Takie zadania, z wyborem jednej z kilku sytuacji na pierwszym etapie, prowadzą do wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, który omawia się szczegółowo na poziomie rozszerzonym. Drzewko pozwala je jednak rozwiązać bez znajomości wzoru.
6Drzewko a prawdopodobieństwo klasyczne
Pierwsze zadanie można też rozwiązać klasycznie. Losujemy dwie kule po kolei bez zwracania: |Ω| = 5 · 4 = 20, a obie białe to 3 · 2 = 6 wyników, więc P = 6/20 = 3/10. Wynik jest ten sam. Drzewko jest wygodniejsze, gdy etapy mają różne prawdopodobieństwa, na przykład przy strzelaniu albo wyborze urny, a sposób klasyczny, gdy łatwo policzyć wszystkie wyniki.
Na maturze podstawowej zadania z prawdopodobieństwa najczęściej rozwiązuje się sposobem klasycznym, ale drzewko jest bardzo dobrym narzędziem do zadań z losowaniem kilku elementów po kolei, z kostkami i monetami oraz do sprawdzenia wyniku. W zadaniu otwartym rysunek drzewka z zapisanymi prawdopodobieństwami jest pełnoprawnym rozwiązaniem, o ile obliczenia są poprawne.
A. 115
B. 19
C. 13
D. 215
Rozwiązanie: 26 · 15 = 230 = 115. Po wylosowaniu czarnej w urnie zostaje 5 kul, w tym 1 czarna. Odpowiedź A. Odpowiedź B to wynik ze zwracaniem: (2/6)² = 1/9.
Odpowiedź: 9/10. Bez zdarzenia przeciwnego trzeba by dodać trzy ścieżki: 6/20 + 6/20 + 6/20 = 18/20 = 9/10. Wynik jest ten sam, ale drogą przez przeciwne łatwiej się nie pomylić.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to przy losowaniu bez zwracania niezmienianie prawdopodobieństw na drugim poziomie. Drugi to dodawanie prawdopodobieństw wzdłuż jednej ścieżki zamiast ich mnożenia. Trzeci to pominięcie jednej z kilku ścieżek sprzyjających, zwłaszcza przy „różnych kolorach” albo „dokładnie jednym trafieniu”. Czwarty to brak kontroli: gałęzie z jednego punktu muszą sumować się do 1. Piąty to przy „co najmniej” liczenie wszystkich ścieżek zamiast skorzystania ze zdarzenia przeciwnego.
8Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Dwa rzuty monetą. P(dwa orły)?
½ · ½ = ¼
2. Urna: 2 białe, 3 czarne, dwie bez zwracania. P(obie białe)?
2/5 · 1/4 = 1/10
3. Ta sama urna. P(dokładnie jedna biała)?
2/5 · 3/4 + 3/5 · 2/4 = 12/20 = 3/5
4. Ta sama urna ze zwracaniem. P(obie czarne)?
(3/5)² = 9/25
5. Strzelec trafia z p = 0,6. Dwa strzały. P(dokładnie jedno trafienie)?
0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,48
6. Rzut kostką i monetą. P(szóstka i orzeł)?
1/6 · ½ = 1/12
7. Urna I: 1 biała, 1 czarna. Urna II: 3 białe, 1 czarna. Wybór urny monetą. P(biała)?
½ · ½ + ½ · ¾ = 5/8
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” kombinatoryka i prawdopodobieństwo mają osobny dział: reguły mnożenia i dodawania, prawdopodobieństwo klasyczne, zdarzenie przeciwne i drzewka, a do tego zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Statystyka, kombinatoryka i prawdopodobieństwoJak obliczyć średnią arytmetyczną?
- WcześniejPrawdopodobieństwo klasyczne: wzór i zadania krok po kroku
- Przyda się teżReguła mnożenia i reguła dodawania: kombinatoryka krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
