„Jaka jest największa wartość funkcji?”, „jakie wymiary powinien mieć prostokąt, żeby jego pole było największe?”, „na jaką wysokość wzniesie się piłka?”. Wszystkie te pytania sprowadzają się do szukania wartości największej albo najmniejszej funkcji kwadratowej. W tym wpisie pokazuję, jak to robić w całej dziedzinie i w przedziale, dlaczego wierzchołek czasem jest odpowiedzią, a czasem nie, i jak rozwiązywać zadania optymalizacyjne krok po kroku.
1W całej dziedzinie: wierzchołek
Parabola ma tylko jeden „punkt zwrotny”: wierzchołek W = (p, q). Gdy ramiona idą w górę, wierzchołek jest najniższym punktem wykresu. Gdy idą w dół, jest najwyższym.
| a > 0 (ramiona w górę) | a < 0 (ramiona w dół) | |
|---|---|---|
| wartość najmniejsza | q, dla x = p | brak |
| wartość największa | brak | q, dla x = p |
Można też liczyć q = −Δ/4a. Jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej a(x − p)² + q, wierzchołek widać od razu.
a = 2 > 0, więc funkcja ma wartość najmniejszą w wierzchołku. p = 84 = 2, q = f(2) = 8 − 16 + 3 = −5. Wartości największej nie ma, bo ramiona rosną w nieskończoność.
2W przedziale: przepis w 4 krokach
Gdy funkcja jest rozważana tylko w przedziale, na przykład ⟨−1; 3⟩, wierzchołek może leżeć w środku tego przedziału albo poza nim. Od tego zależy odpowiedź.
1. Oblicz p, pierwszą współrzędną wierzchołka.
2. Sprawdź, czy p należy do przedziału ⟨m; n⟩.
3. Oblicz f(m) i f(n), a jeśli p należy do przedziału, także f(p).
4. Największa z obliczonych liczb to wartość największa, najmniejsza to wartość najmniejsza.
Dlaczego to działa? Na fragmencie paraboli wartość skrajną może dać tylko wierzchołek (jeśli jest w tym fragmencie) albo jeden z końców. Żaden inny punkt nie może być wyżej ani niżej od wszystkich tych trzech.
Przypadek 1: wierzchołek w przedziale
Krok 4: z liczb −3, 6 i −2 najmniejsza to −3, a największa 6. Czerwony fragment paraboli to część w przedziale: najniżej jest w wierzchołku, najwyżej na lewym końcu.
Przypadek 2: wierzchołek poza przedziałem
Na całym przedziale funkcja maleje, bo jesteśmy na lewo od wierzchołka przy ramionach w górę. Dlatego obie wartości skrajne są na końcach.
Przypadek 3: ramiona w dół
3A co z przedziałem otwartym?
Przepis działa dla przedziałów domkniętych. Gdy przedział jest otwarty, końce do niego nie należą, więc funkcja może nie mieć wartości największej albo najmniejszej. Na przykład f(x) = x² w przedziale (0; 2) przyjmuje wartości od 0 do 4, ale ani 0, ani 4, bo x = 0 i x = 2 są wykluczone. Nie ma więc ani wartości najmniejszej, ani największej. W zadaniach maturalnych przedziały są zwykle domknięte, ale warto zwracać uwagę na nawiasy.
Wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej, także w przedziale, oraz zadania optymalizacyjne to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” część działu o funkcji kwadratowej z siedmioma zestawami zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, z rysunkami.
Zobacz kurs na Udemy4Zadania optymalizacyjne
W zadaniu optymalizacyjnym trzeba znaleźć sytuację „najlepszą”: największe pole, najmniejszy koszt, największy iloczyn. Bardzo często prowadzi to do funkcji kwadratowej.
1. Oznacz literą x jedną z niewiadomych wielkości.
2. Wyraź przez x drugą wielkość, korzystając z warunku z treści.
3. Zapisz funkcję, którą trzeba zoptymalizować, i jej dziedzinę wynikającą z treści.
4. Znajdź wierzchołek i sprawdź, czy p należy do dziedziny.
5. Odpowiedz na pytanie z zadania, bo czasem pyta ono o x, a czasem o wartość funkcji.
Niech jedna liczba to x, wtedy druga to 12 − x. Iloczyn: f(x) = x(12 − x) = −x² + 12x. a = −1 < 0, więc jest wartość największa. p = −12/(−2) = 6. Liczby to 6 i 6, a ich iloczyn 36.
Bez ściany, przy czterech bokach z siatki, najlepszy byłby kwadrat. Ze ścianą bok wzdłuż niej wychodzi dwa razy dłuższy od pozostałych.
a = −5 < 0, więc jest wartość największa. p = −20/(−10) = 2, a h(2) = −20 + 40 + 1 = 21. Pytanie dotyczy i wartości, i argumentu: wysokości oraz czasu.
Szukanie wartości największej i najmniejszej funkcji kwadratowej, zwłaszcza w przedziale, to częste zadanie otwarte na maturze podstawowej. Zadania optymalizacyjne z treścią pojawiają się zwykle jako zadanie za kilka punktów pod koniec arkusza: punkty są za ułożenie funkcji, za dziedzinę, za wierzchołek i za odpowiedź na pytanie. Najczęstszy błąd to podanie wartości w wierzchołku, gdy wierzchołek leży poza przedziałem.
A. −4
B. −3
C. 12
D. 0
Rozwiązanie: wierzchołek to (1, −4), ale 1 nie należy do ⟨2; 5⟩. Na prawo od wierzchołka funkcja z ramionami w górę rośnie, więc najmniejsza wartość jest na lewym końcu: f(2) = 1 − 4 = −3. Odpowiedź B. A to wartość w wierzchołku poza przedziałem, a C to wartość największa, f(5) = 12.
Odpowiedź: kwadrat o boku 9 cm, pole 81 cm². W zadaniu otwartym zapisz dziedzinę funkcji i sprawdź, że p do niej należy, bo za to też są punkty.
5Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to podawanie argumentu p zamiast wartości q, gdy pytanie dotyczy wartości. Drugi to w przedziale podanie wartości w wierzchołku, który do przedziału nie należy. Trzeci to sprawdzenie tylko wierzchołka i pominięcie końców przedziału. Czwarty to pomylenie wartości największej z najmniejszą przy ujemnym a. Piąty to w zadaniach optymalizacyjnych pominięcie dziedziny albo odpowiedź na inne pytanie niż zadane, na przykład podanie pola zamiast wymiarów.
6Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Najmniejsza wartość f(x) = x² + 6x + 4?
p = −3, f(−3) = −5
2. Największa wartość f(x) = −3(x − 2)² + 7?
7, dla x = 2
3. Czy f(x) = x² − 2x ma wartość największą?
nie, a > 0
4. Największa i najmniejsza wartość f(x) = x² − 2x w ⟨0; 4⟩?
p = 1 ∈ przedziału: f(1) = −1, f(0) = 0, f(4) = 8; min −1, max 8
5. Największa i najmniejsza wartość f(x) = x² w ⟨1; 3⟩?
p = 0 poza: f(1) = 1, f(3) = 9; min 1, max 9
6. Różnica dwóch liczb to 10. Najmniejszy iloczyn?
x(x − 10), p = 5: liczby 5 i −5, iloczyn −25
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” funkcja kwadratowa jest rozpisana na kolejne lekcje: wszystkie postaci, miejsca zerowe, wierzchołek, wartości w przedziale, nierówności i zadania optymalizacyjne, a na koniec siedem zestawów zadań maturalnych. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejPostać iloczynowa funkcji kwadratowej
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
