Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę. Opisuje wszystko, co rośnie lub maleje „przez mnożenie”: procent składany, podwajające się bakterie, zmniejszającą się o połowę ilość substancji. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest ciąg geometryczny, skąd biorą się wzory na n-ty wyraz i sumę, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania maturalne. Jeśli znasz już ciąg arytmetyczny, zobaczysz, że wiele rzeczy działa tu podobnie, tylko z mnożeniem zamiast dodawania.
1Co to jest ciąg geometryczny
Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest taki sam. Ten stały iloraz oznaczamy literą q.
Tutaj a₁ = 3 i q = 2. Iloraz może być ułamkiem, wtedy wyrazy maleją, albo liczbą ujemną, wtedy znaki wyrazów się zmieniają:
Iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Dlatego q liczymy jako iloraz dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów, na przykład a₂ : a₁. Zakładamy, że wyrazy są różne od zera.
Na wykresie wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego nie leżą na prostej, tylko na krzywej, która wznosi się coraz szybciej. Każdy krok w prawo podwaja wysokość, więc „schodki” są coraz wyższe. To jest wykres funkcji wykładniczej, określonej tylko dla liczb naturalnych.
2Wzór na n-ty wyraz
Żeby dojść od a₁ do a₂, mnożymy przez q raz. Do a₃ mnożymy przez q dwa razy, czyli przez q². Do a₁₀ trzeba pomnożyć przez q dziewięć razy. Stąd potęga n − 1:
Tak jak w ciągu arytmetycznym, wzór można zapisać od dowolnego znanego wyrazu: an = ak · qn − k. Na przykład a7 = a4 · q3.
3Suma n pierwszych wyrazów
Gdy q = 1, wszystkie wyrazy są równe, więc Sₙ = n · a₁.
Sprawdzenie: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
Według legendy wynalazca szachów poprosił o nagrodę w ziarnach: jedno na pierwsze pole, dwa na drugie, cztery na trzecie i tak dalej, za każdym razem dwa razy więcej. Na 64 polach to suma ciągu geometrycznego z a₁ = 1 i q = 2, czyli 2⁶⁴ − 1. To ponad 18 trylionów ziaren, znacznie więcej, niż kiedykolwiek wyprodukowano.
4Własność trzech kolejnych wyrazów
Trzy liczby a, b, c różne od zera tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy b² = a · c. Na przykład 4, 6, 9: 6² = 36 = 4 · 9.
W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz był średnią sąsiadów (2b = a + c). Tutaj zamiast dodawania jest mnożenie, a zamiast mnożenia przez 2 jest kwadrat.
5Monotoniczność
| Warunek | Ciąg jest | Przykład |
|---|---|---|
| a₁ > 0 i q > 1 | rosnący | 3, 6, 12, 24, … |
| a₁ > 0 i 0 < q < 1 | malejący | 81, 27, 9, 3, … |
| a₁ < 0 i q > 1 | malejący | −1, −2, −4, −8, … |
| a₁ < 0 i 0 < q < 1 | rosnący | −16, −8, −4, −2, … |
| q < 0 | niemonotoniczny (naprzemienny) | 1, −2, 4, −8, … |
| q = 1 | stały | 5, 5, 5, … |
Ciąg geometryczny ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną lekcję po ciągu arytmetycznym, a potem zestawy zadań maturalnych, także takich, które łączą oba rodzaje ciągów. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy6Typowe zadania krok po kroku
Wyznacz q i a₁, znając dwa wyrazy
Pułapka: dwa możliwe ilorazy
Od a₃ do a₅ są 2 kroki: 48 = 12 · q², więc q² = 4. Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: q = 2 albo q = −2. Oba ciągi istnieją: 3, 6, 12, 24, 48 oraz 3, −6, 12, −24, 48.
Czy ciąg jest geometryczny?
Liczymy iloraz dla dowolnego n: an + 1an = 5 · 2n + 15 · 2n = 2. Iloraz jest stały, więc ciąg jest geometryczny z q = 2.
Trzy wyrazy z niewiadomą
Z własności: 6² = x · (x + 5), czyli x² + 5x − 36 = 0. Δ = 25 + 144 = 169, √Δ = 13, więc x = (−5 + 13)/2 = 4 albo x = (−5 − 13)/2 = −9. Sprawdzenie: 4, 6, 9 (q = 3/2) oraz −9, 6, −4 (q = −2/3). Oba ciągi są geometryczne.
7Ciąg geometryczny w życiu
Kapitał na lokacie z procentem składanym tworzy ciąg geometryczny: co roku mnożymy go przez 1 + p/100. Przy 5% rocznie q = 1,05, a kapitał po n latach to K₀ · 1,05ⁿ. Szczegóły są we wpisie o procencie składanym. Ten sam schemat opisuje wzrost populacji, rozpad promieniotwórczy i spadek wartości samochodu o stały procent rocznie.
8Arytmetyczny i geometryczny obok siebie
| Ciąg arytmetyczny | Ciąg geometryczny | |
|---|---|---|
| kolejny wyraz | dodajemy r | mnożymy przez q |
| stała | różnica r = aₙ₊₁ − aₙ | iloraz q = aₙ₊₁ : aₙ |
| n-ty wyraz | aₙ = a₁ + (n − 1)r | aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ |
| suma | Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n | Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q) |
| trzy kolejne a, b, c | 2b = a + c | b² = a · c |
| wykres | punkty na prostej | punkty na krzywej wykładniczej |
Wzory na n-ty wyraz i sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego oraz własność wyrazu środkowego są w zestawie wzorów maturalnych CKE, obok wzorów dla ciągu arytmetycznego. Na maturze podstawowej pojawiają się zadania zamknięte o konkretnym wyrazie lub ilorazie i zadania otwarte z trzema wyrazami z niewiadomą. Czasem jedno zadanie łączy oba rodzaje ciągów.
A. −54
B. 54
C. −18
D. 162
Rozwiązanie: a₄ = 2 · (−3)³ = 2 · (−27) = −54. Odpowiedź A. B wychodzi przy zgubieniu minusa (nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna), C to 2 · (−3)², czyli zły wykładnik i znak, a D to 2 · 3⁴.
Ciąg to 2, 4, 8, więc q = 2. Odpowiedź: x = 2, q = 2. W zadaniu otwartym zapisz, dlaczego odrzucasz x = −8.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to wykładnik n zamiast n − 1 we wzorze na aₙ. Drugi to liczenie a₁ · qⁿ⁻¹ jako (a₁ · q)ⁿ⁻¹. Trzeci to zgubienie znaku przy ujemnym q i nieparzystej potędze. Czwarty to podanie tylko q = 2, gdy z q² = 4 wynika też q = −2. Piąty to ocenianie monotoniczności tylko po q, bez sprawdzenia znaku a₁. Szósty to pomylenie własności wyrazu środkowego z ciągiem arytmetycznym, czyli 2b = a + c zamiast b² = ac.
10Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. a₁ = 5, q = 2. Oblicz a₅.
5 · 2⁴ = 80
2. Ciąg 64, 32, 16, … Oblicz q i a₇.
q = ½, a₇ = 64 · (½)⁶ = 1
3. a₁ = 2, a₄ = 54. Oblicz q.
q³ = 27, q = 3
4. a₂ = 3, a₄ = 27. Oblicz q.
q² = 9, q = 3 lub q = −3
5. Oblicz sumę 1 + 2 + 4 + … + 2⁹.
a₁ = 1, q = 2, n = 10: (1 − 1024)/(1 − 2) = 1023
6. Czy aₙ = 3ⁿ⁺¹ jest geometryczny?
aₙ₊₁ : aₙ = 3, tak, q = 3
7. Liczby 2, x, 18 tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Wyznacz x.
x² = 36, x = 6
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” ciągi mają osobny dział: pojęcie ciągu, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny i zadania maturalne, także takie, które łączą oba rodzaje ciągów albo wiążą się z procentem składanym. Dalej są geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: CiągiCiąg arytmetyczny – wzory i zadania krok po kroku
- Przyda się teżFunkcja wykładnicza – wykres, własności i równania
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
