Dodawanie i odejmowanie ułamków to umiejętność, która wraca przez całą szkołę: w procentach, równaniach, wyrażeniach algebraicznych, prawdopodobieństwie i na maturze. Cała trudność sprowadza się do jednej rzeczy: wspólnego mianownika. W tym wpisie pokazuję, dlaczego jest potrzebny, jak go szybko znaleźć na trzy sposoby i jak dodawać oraz odejmować ułamki, także liczby mieszane i ułamki ujemne. Wszystko krok po kroku, z rysunkami.

1Te same mianowniki: dodajemy liczniki

Gdy ułamki mają ten sam mianownik, mówią o kawałkach tej samej wielkości. Dodajemy więc tylko liczby kawałków, czyli liczniki, a mianownik zostaje bez zmian.

Odejmowanie działa tak samo: 79 − 49 = 39 = 13. Na końcu zawsze sprawdzamy, czy wynik da się skrócić.

2Różne mianowniki: dlaczego potrzebny jest wspólny

Ile to jest ½ + ⅓? Połówka i trzecia część to kawałki różnej wielkości, więc nie da się ich po prostu policzyć razem. Trzeba je pokroić na mniejsze, jednakowe kawałki. Połówkę i trzecią część da się podzielić na szóste części:

Liczba 6 to wspólny mianownik: każdy z ułamków da się do niego rozszerzyć. Rozszerzanie to mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę, więc wartość ułamka się nie zmienia. Szczegóły są we wpisie o skracaniu i rozszerzaniu ułamków.

3Jak znaleźć wspólny mianownik: trzy sposoby

Sposób 1: jeden mianownik dzieli drugi

Jeśli większy mianownik dzieli się przez mniejszy, to on jest wspólnym mianownikiem. Rozszerzamy tylko ułamek z mniejszym mianownikiem. Na przykład 14 + 38: 8 dzieli się przez 4, więc 14 = 28 i wynik to 28 + 38 = 58.

Sposób 2: mianowniki nie mają wspólnych dzielników

Gdy mianowniki nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1, wspólnym mianownikiem jest ich iloczyn. Na przykład 23 + 15: 3 i 5 nie mają wspólnych dzielników, więc mianownik to 15. 1015 + 315 = 1315.

Sposób 3: najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

W pozostałych przypadkach szukamy najmniejszej liczby, która dzieli się przez oba mianowniki. Najprościej wypisywać kolejne wielokrotności większego mianownika, aż trafimy na liczbę podzielną przez mniejszy.

Przy większych liczbach szybciej jest rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze. Bierzemy każdy czynnik tyle razy, ile razy najwięcej występuje w którymś z mianowników.

Iloczyn mianowników też zawsze działa, tylko daje większe liczby: dla 12 i 18 byłoby to 216, a na końcu i tak trzeba by skracać.

4Przykłady krok po kroku

Krok 1. Wspólny mianownik

Wielokrotności 6: 6, 12. Liczba 12 dzieli się przez 4, więc wspólny mianownik to 12.

Krok 2. Rozszerzamy

12 : 6 = 2, więc pierwszy ułamek mnożymy przez 2. 12 : 4 = 3, więc drugi przez 3.

Krok 3 i 4. Dodajemy i zamieniamy na liczbę mieszaną

19/12 to ułamek niewłaściwy, bo licznik jest większy od mianownika. 12 mieści się w 19 raz i zostaje 7, więc 19/12 = 1 i 7/12.

Ten sam wspólny mianownik 12: 1012 − 312 = 712. 7 i 12 nie mają wspólnych dzielników, więc wynik jest nieskracalny.

6 dzieli się przez 3, więc wspólny mianownik to 6: 16 + 26 = 36. Wynik da się skrócić przez 3: 36 = 12.

Szukamy liczby podzielnej przez 2, 3 i 4. Wielokrotności 4: 4, 8, 12. Liczba 12 dzieli się przez 2 i przez 3. Rozszerzamy: 612 + 412 + 312 = 1312 = 1112.

NWW(12, 18) = 36 z rozkładu na czynniki. 36 : 12 = 3 i 36 : 18 = 2: 2136 + 1036 = 3136.

5Liczby mieszane

Dodawanie: całości osobno, ułamki osobno

Dodajemy całości: 2 + 1 = 3. Dodajemy ułamki: 13 + 34 = 412 + 912 = 1312 = 1112. Razem: 3 + 1112 = 4112.

Odejmowanie, gdy ułamek jest za mały

Ułamek ¼ jest mniejszy od ⅔, więc nie da się ich odjąć osobno bez „pożyczania”. Najprościej zamienić obie liczby na ułamki niewłaściwe: mnożymy całości przez mianownik i dodajemy licznik.

6Ułamek i liczba całkowita, ułamki ujemne

Liczbę całkowitą zapisujemy jako ułamek z mianownikiem 1 albo od razu z mianownikiem drugiego ułamka. 2 + 35 = 105 + 35 = 135, a 1 − 38 = 88 − 38 = 58.

Z ułamkami ujemnymi postępujemy tak samo, pilnując znaku licznika: −23 + 14 = −812 + 312 = −512 = −512.

7Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to dodawanie mianowników: ½ + ⅓ to nie 2/5. Drugi to rozszerzenie tylko mianownika, bez licznika, co zmienia wartość ułamka. Trzeci to rozszerzenie tylko jednego ułamka, gdy oba trzeba doprowadzić do wspólnego mianownika. Czwarty to brak skrócenia wyniku na końcu. Piąty to zła zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy, na przykład 3¼ jako 4/4 zamiast 13/4. Szósty to przy odejmowaniu liczb mieszanych odejmowanie mniejszego ułamka od większego „na odwrót”.

8Sprawdź się

Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.