Obniżki i podwyżki procentowe: o ile procent zmieniła się cena?
„Cena wzrosła o 20%”, „wyprzedaż −30%”, „o ile procent podrożał chleb?”. Zadania z obniżkami i podwyżkami procentowymi pojawiają się w sklepie, w wiadomościach i na maturze. Wszystkie opierają się na jednej zasadzie, a większość błędów bierze się z tego, że ktoś ją pominie. W tym wpisie pokazuję tę zasadę, trzy typy zadań i rozwiązuję krok po kroku przykłady, także takie, które często zaskakują.
Jeśli liczenie procentu z liczby nie jest jeszcze dla ciebie oczywiste, zacznij od wpisu „Jak obliczyć procent z liczby? 5 przykładów krok po kroku”, bo tutaj z tego korzystamy.
1Najważniejsza zasada
Procent zmiany liczymy zawsze od wartości przed zmianą, czyli od wartości początkowej.
Gdy cena rośnie z 80 zł do 100 zł, zmianę 20 zł porównujemy z 80 zł, a nie ze 100 zł. Z tej jednej zasady wynikają wszystkie wzory w tym wpisie.
2Mnożnik, czyli najszybszy sposób
Zamiast liczyć osobno, ile wynosi podwyżka, a potem ją dodawać, możesz od razu pomnożyć cenę przez jedną liczbę, tak zwany mnożnik.
Po podwyżce o 20% płacisz 100% + 20% = 120% ceny, czyli mnożysz przez 1,2. Po obniżce o 20% płacisz 100% − 20% = 80% ceny, czyli mnożysz przez 0,8.
| Zmiana | Ile procent starej ceny | Mnożnik |
|---|---|---|
| podwyżka o 10% | 110% | 1,1 |
| podwyżka o 25% | 125% | 1,25 |
| podwyżka o 3% | 103% | 1,03 |
| podwyżka o 100% | 200% | 2 |
| obniżka o 10% | 90% | 0,9 |
| obniżka o 35% | 65% | 0,65 |
| obniżka o 4% | 96% | 0,96 |
| obniżka o 50% | 50% | 0,5 |
3Typ 1: oblicz nową cenę
Sposób 1: najpierw podwyżka, potem dodawanie
Podwyżka to 15% z 1200: 0,15 · 1200 = 180 zł. Nowa cena: 1200 + 180 = 1380 zł.
Sposób 2: mnożnik
Po obniżce o 30% płacisz 70% ceny: 0,7 · 250 = 175 zł. Sprawdzenie: obniżka to 0,3 · 250 = 75 zł, a 250 − 75 = 175 zł.
4Typ 2: o ile procent zmieniła się cena?
W mianowniku zawsze stoi stara cena, czyli ta przed zmianą. Jeśli wynik wyjdzie dodatni, cena wzrosła, a jeśli ujemny, cena spadła.
Krok 1. Liczymy, o ile złotych zmieniła się cena
46 − 40 = 6 zł.
Krok 2. Dzielimy przez starą cenę
Zmiana: 360 − 306 = 54 zł. Dzielimy przez starą cenę: 54360 = 0,15 = 15%. Sprawdzenie mnożnikiem: 0,85 · 360 = 306. Zgadza się.
Pułapka: ta sama różnica, inny procent
Cena wzrosła z 80 zł do 100 zł, a potem wróciła ze 100 zł do 80 zł. Różnica za każdym razem to 20 zł, ale procenty są różne, bo inna jest cena początkowa.
| Zmiana | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| z 80 zł do 100 zł | 20 / 80 | wzrost o 25% |
| ze 100 zł do 80 zł | 20 / 100 | spadek o 20% |
Obniżki i podwyżki mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną lekcję, a zaraz po niej są lekcje o lokatach, kredytach oraz procencie składanym i prostym. Każdy temat kończy się zadaniami maturalnymi rozwiązanymi krok po kroku.
Zobacz kurs na Udemy5Typ 3: ile kosztowało przed zmianą?
To zadania „od tyłu”: znasz cenę po obniżce i masz znaleźć cenę pierwotną. Tu pojawia się najczęstszy błąd w całym temacie.
Krok 1. Zapisujemy, czym jest 240 zł
Po obniżce o 20% płacisz 80% starej ceny. Czyli 240 zł to 80% ceny, której szukamy. Oznaczmy starą cenę przez x.
Krok 2. Dzielimy przez mnożnik
Sprawdzenie: 20% z 300 to 60, a 300 − 60 = 240. Zgadza się.
15 zł to 125% starej ceny: 1,25 · x = 15, więc x = 15 : 1,25 = 12 zł. Sprawdzenie: 25% z 12 to 3, a 12 + 3 = 15.
6Kilka zmian po kolei
Gdy cena zmienia się kilka razy, każdą kolejną zmianę liczymy od ceny po poprzedniej zmianie. Najprościej pomnożyć przez wszystkie mnożniki po kolei.
Intuicja podpowiada, że tak, bo +20% i −20% powinny się znieść. Sprawdźmy na cenie 100 zł.
Cena spadła o 4 zł, czyli o 4%. Podwyżka wynosiła 20 zł (20% ze 100), a obniżka 24 zł (20% ze 120). Mnożnikami: 1,2 · 0,8 = 0,96, czyli cena to 96% początkowej.
1,1 · 1,1 = 1,21, czyli cena to 121% początkowej. Wzrosła o 21%, a nie o 20%, bo druga podwyżka była liczona od już podwyższonej ceny.
7Procent a punkt procentowy
Gdy zmienia się coś, co samo jest wyrażone w procentach, na przykład oprocentowanie lokaty albo poparcie w sondażu, trzeba odróżnić dwie rzeczy.
Różnica 5% − 4% to 1 punkt procentowy. Ale jeśli pytamy, o ile procent wzrosło oprocentowanie, liczymy jak zwykle od wartości początkowej: (5 − 4) / 4 = 0,25, czyli wzrosło o 25%.
W wiadomościach te pojęcia często się myli. Na maturze trzeba czytać polecenie dokładnie: „o ile punktów procentowych” i „o ile procent” to dwa różne pytania.
Zadania z obniżkami i podwyżkami regularnie pojawiają się w arkuszach maturalnych, najczęściej jako zadania zamknięte, w których trzeba wybrać jedną odpowiedź. Najczęściej sprawdzają trzy rzeczy z tego wpisu: czy liczysz procent od właściwej wartości, czy umiesz policzyć cenę przed zmianą i czy wiesz, że dwie zmiany o ten sam procent się nie znoszą. Te zadania rozwiązuje się rozumowaniem i mnożnikami, a nie podstawianiem do gotowego wzoru, dlatego warto przećwiczyć je wcześniej.
A. taka sama jak przed zmianami
B. niższa o 4% od ceny przed zmianami
C. wyższa o 4% od ceny przed zmianami
D. niższa o 2% od ceny przed zmianami
Rozwiązanie: mnożymy mnożniki, 1,2 · 0,8 = 0,96. Cena to 96% początkowej, czyli jest niższa o 4%. Odpowiedź B. Odpowiedź A to pułapka dla tych, którzy myślą, że +20% i −20% się znoszą.
Rozwiązanie: 1530 zł to 85% ceny przed obniżką, więc 0,85 · x = 1530, skąd x = 1530 : 0,85 = 1800 zł. W zadaniu otwartym zapisz równanie i wynik z jednostką, bo punkty przyznaje się za tok rozumowania, a nie za samą liczbę. Odpowiedź: 1800 zł.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to liczenie procentu od nowej ceny zamiast od starej. Drugi to szukanie ceny przed obniżką przez dodanie procentu do ceny po obniżce. Trzeci to przekonanie, że podwyżka i obniżka o ten sam procent się znoszą. Czwarty to złe mnożniki przy małych procentach, na przykład 1,5 zamiast 1,05 dla podwyżki o 5%. Piąty to mylenie punktów procentowych z procentami.
9Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Książka kosztowała 60 zł i podrożała o 5%. Ile kosztuje teraz?
1,05 · 60 = 63 zł
2. Gra kosztowała 200 zł, a teraz 150 zł. O ile procent ją przeceniono?
50 / 200 = 0,25, czyli o 25%
3. Cena wzrosła z 50 zł do 60 zł. O ile procent?
10 / 50 = 0,2, czyli o 20%
4. Po obniżce o 40% bluza kosztuje 90 zł. Ile kosztowała wcześniej?
0,6 · x = 90, x = 150 zł
5. Cenę obniżono o 10%, a potem jeszcze o 10%. O ile procent spadła w sumie?
0,9 · 0,9 = 0,81, czyli o 19%
6. Bezrobocie spadło z 8% do 6%. O ile punktów procentowych i o ile procent?
o 2 punkty procentowe, czyli o 2/8 = 25%
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” procenty są rozpisane na kolejne lekcje: procent z liczby, obniżki i podwyżki, lokaty, kredyty, procent składany i prosty, a potem zestaw zadań maturalnych. Tak samo zbudowane są pozostałe działy, od liczb i potęg przez funkcje i ciągi po geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: ProcentyJak obliczyć procent z liczby? 5 przykładów krok po kroku
- WcześniejJak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?
- DalejProcenty a punkty procentowe
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
