Pochodna: wzory i jak je rozumieć

Pierwszy rok studiów i nagle pojawiają się pochodne. A razem z nimi cała lista wzorów, które trzeba umieć stosować na kolokwium. Dobra wiadomość jest taka, że tych wzorów nie trzeba wkuwać na pamięć jak wiersza. Większość z nich wynika z kilku prostych zasad, a gdy zrozumiesz, skąd się biorą, zaczną się same układać w głowie.

W tym wpisie przechodzimy przez wszystkie podstawowe wzory na pochodne: od stałej, przez potęgi, funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne, aż po pochodną sumy, iloczynu i ilorazu. Przy każdym wzorze wyjaśniam, dlaczego działa, i liczę przykłady krok po kroku.

1Czym jest pochodna

Pochodna mówi, jak szybko zmienia się funkcja. Najlepiej widać to na przykładzie jazdy samochodem. Jeśli f(t) to droga przejechana do chwili t, to pochodna f′(t) to prędkość w tej chwili, czyli to, co pokazuje licznik. Gdy samochód stoi, droga się nie zmienia i prędkość wynosi 0. Gdy jedzie szybko, droga rośnie szybko i prędkość jest duża.

Na wykresie pochodna w punkcie to nachylenie stycznej, czyli prostej, która w tym punkcie „przytula się” do wykresu. To ten sam współczynnik a, który znasz z funkcji liniowej y = ax + b. Na rysunku poniżej jest parabola f(x) = x² i styczna w punkcie x = 1. Ta styczna ma nachylenie 2, więc f′(1) = 2.

Pochodną funkcji f zapisujemy jako f′(x) i czytamy „f prim od x”. Spotkasz też zapis dfdx, który oznacza to samo.

2Wszystkie wzory w jednym miejscu

Najpierw cała ściągawka, a niżej każdy wzór osobno, z wyjaśnieniem i przykładami. Litera c oznacza dowolną stałą liczbę.

3Pochodna stałej

Stała się nie zmienia, więc tempo jej zmiany jest zerowe. Wykres funkcji f(x) = 3 to pozioma prosta, a pozioma prosta ma nachylenie 0. To jak samochód, który stoi w miejscu: droga się nie zmienia, więc prędkość wynosi zero.

4Pochodna potęgi

To najważniejszy wzór w całym temacie, bo większość funkcji da się zapisać jako potęgę. Przepis ma dwa kroki: przepisz wykładnik przed x i zmniejsz wykładnik o 1.

Wzór działa też dla wykładników ujemnych i ułamkowych. Wtedy najpierw zapisujemy pierwiastek albo ułamek jako potęgę. To jest najważniejszy trik przy pochodnych:

Jak odjąć 1 od ułamka? Zapisz 1 jako ułamek o tym samym mianowniku: 12 − 1 = 12 − 22 = −12. Potęga ujemna oznacza odwrotność, więc x⁻¹² = 1x.

5Stała razy funkcja

Jeśli funkcja jest pomnożona przez liczbę, tę liczbę przepisujemy, a liczymy pochodną tylko z reszty. Potem mnożymy.

6Pochodna funkcji liniowej

To wynika z poprzednich wzorów: (ax)′ = a · 1 = a, a (b)′ = 0. Ma to też sens na wykresie. Prosta ma w każdym miejscu takie samo nachylenie, czyli a. Dlatego pochodna funkcji liniowej to zwykła liczba, bez x. Przy rysowaniu prostej „po schodkach” a to dokładnie wysokość jednego schodka.

7Pochodna funkcji kwadratowej

Tu też nie ma nic nowego, tylko trzy poprzednie wzory naraz: (ax²)′ = a · 2x = 2ax, (bx)′ = b, a (c)′ = 0.

Do czego to się przydaje? W wierzchołku paraboli styczna jest pozioma, więc pochodna jest tam równa zero. Dla f(x) = x² − 6x + 5 mamy f′(x) = 2x − 6. Z równania 2x − 6 = 0 wychodzi x = 3, czyli wierzchołek leży w x = 3.

Zauważ, że z równania 2ax + b = 0 wychodzi x = −b2a. To dokładnie wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, który znasz ze szkoły. Teraz wiesz, skąd się wziął.

8Pochodna wielomianu i pochodna sumy

Wielomian to suma potęg pomnożonych przez liczby, więc liczymy pochodną każdego wyrazu osobno i zostawiamy znaki między nimi. Każdy wyraz traktujemy jak osobne małe zadanie.

Przykład krok po kroku: f(x) = 4x⁵ − 2x³ + x − 9

9Pochodne funkcji trygonometrycznych

Dlaczego pochodna sinusa to cosinus? Spójrz na wykres. W punkcie x = 0 sinus rośnie najszybciej i ma nachylenie 1, a cos 0 = 1. W punkcie x = π/2 sinus osiąga szczyt, styczna jest pozioma i nachylenie wynosi 0, a cos(π/2) = 0. W punkcie x = π sinus spada najszybciej, nachylenie wynosi −1, a cos π = −1. Nachylenie sinusa w każdym punkcie to wartość cosinusa.

Przy cosinusie pojawia się minus. Cosinus w x = 0 jest na szczycie, a zaraz potem zaczyna maleć, więc jego nachylenie jest ujemne, tak jak −sin x. Wzór na tangens wyprowadzimy dalej, przy pochodnej ilorazu.

10Pochodna funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza rośnie tym szybciej, im jest większa: im więcej masz, tym szybciej przybywa, jak przy procencie składanym. Dlatego jej pochodna jest proporcjonalna do niej samej. Liczba e ≈ 2,718 jest wyjątkowa, bo dla niej ten współczynnik wynosi dokładnie 1: pochodna e^x to dokładnie e^x. Dla innej podstawy a pojawia się dodatkowy czynnik ln a, czyli logarytm naturalny z podstawy.

11Pochodna funkcji logarytmicznej

Logarytm rośnie coraz wolniej: im dalej w prawo, tym bardziej płaski jest wykres. Pochodna 1/x dobrze to opisuje, bo dla dużych x jest coraz mniejsza. Przy logarytmie o innej podstawie niż e znowu pojawia się ln a, tym razem w mianowniku.

12Pochodna iloczynu

Przykład krok po kroku: (x² · sin x)′

Oznaczamy f = x² i g = sin x. Liczymy pochodne osobno: f′ = 2x, g′ = cos x. Wstawiamy do wzoru:

Ostatni przykład można sprawdzić inaczej: najpierw wymnożyć nawiasy, (x + 1)(x² − 3) = x³ + x² − 3x − 3, a potem policzyć pochodną wielomianu: 3x² + 2x − 3. Wynik ten sam, więc wzór działa.

13Pochodna ilorazu

Ten wzór jest podobny do wzoru na iloczyn, ale w liczniku jest minus, więc kolejność ma znaczenie: zawsze zaczynamy od pochodnej licznika. W mianowniku zostaje mianownik podniesiony do kwadratu i zwykle go nie wymnażamy.

Przykład krok po kroku: (x / (x + 1))′

f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1.

Skąd się bierze wzór na pochodną tangensa

Tangens to iloraz: tg x = sin xcos x. Liczymy ze wzoru na iloraz, gdzie f = sin x, f′ = cos x, g = cos x, g′ = −sin x:

W ostatnim kroku skorzystaliśmy z jedynki trygonometrycznej: sin²x + cos²x = 1. Tak oto jeden wzór wynika z dwóch innych i nie trzeba go wkuwać osobno.

14Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to liczenie pochodnej iloczynu jako iloczynu pochodnych. Drugi to zła kolejność w liczniku wzoru na iloraz: zawsze zaczynamy od f′ · g. Trzeci to traktowanie stałych takich jak π, e czy ln 2 jak zmiennej. Czwarty to zgubiony minus przy pochodnej cosinusa. Piąty to mylenie xⁿ z a^x: gdy x jest w wykładniku, wzór na potęgę nie działa. Szósty to błędy przy odejmowaniu 1 od wykładnika ułamkowego lub ujemnego. Pomaga zapisywanie każdego kroku, zamiast liczenia wszystkiego w pamięci.

W tym wpisie celowo pominęłam pochodną funkcji złożonej, na przykład sin(3x) albo (2x + 1)⁵. Do niej potrzebny jest osobny wzór, tak zwana reguła łańcuchowa, i to dobry temat na kolejny wpis.

15Sprawdź się

Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.