Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
To zadanie optymalizacyjne, czyli takie, w którym spośród wielu możliwych rozwiązań szukamy najlepszego. Ekran o polu 60 cm² może mieć różne kształty: wąski i długi albo szerszy i krótszy. Za każdym razem obramowanie dokłada trochę powierzchni, ale nie zawsze tyle samo. Szukamy kształtu, przy którym cały smartfon zajmuje jak najmniej miejsca. To zadanie było warte aż 7 punktów, więc przejdę przez nie bardzo dokładnie.
1Najpierw zrozummy, o czym jest zadanie
2Plan rozwiązania
3Krok 1. Oznaczenia i wymiary smartfona
Niech x będzie szerokością ekranu, a y jego wysokością (w centymetrach). Teraz trzeba ustalić, które marginesy dokładają się do którego wymiaru. To najważniejsze miejsce w całym zadaniu.
Marginesy 0,5 cm są przy krótszych brzegach, czyli na górze i na dole. One wydłużają smartfon w pionie: do wysokości ekranu dochodzi 0,5 cm u góry i 0,5 cm na dole, razem 1 cm. Marginesy 0,3 cm są przy dłuższych brzegach, czyli po lewej i po prawej. One poszerzają smartfon: do szerokości ekranu dochodzi 0,3 cm z każdej strony, razem 0,6 cm.
4Krok 2. Warunek: pole ekranu to 60 cm²
Pole prostokąta to iloczyn jego boków, więc:
5Krok 3. Funkcja pola smartfona i jej dziedzina
Pole całego smartfona to iloczyn jego szerokości i wysokości. Wstawiamy y = 60/x:
Dziedzina: x jest długością boku ekranu, więc musi być dodatnie. Dla każdego dodatniego x również y = 60/x jest dodatnie, więc wystarczy warunek x > 0.
Najpierw intuicja: tabela wartości
Zanim użyjemy pochodnej, sprawdźmy kilka wartości, żeby zobaczyć, że minimum naprawdę istnieje:
| szerokość ekranu x | wysokość ekranu y = 60/x | pole smartfona P(x) |
|---|---|---|
| 3 | 20 | 75,6 |
| 4 | 15 | 73,6 |
| 5 | 12 | 72,8 |
| 6 | 10 | 72,6 |
| 8 | 7,5 | 73,1 |
| 10 | 6 | 74,2 |
Gdy ekran jest bardzo wąski albo bardzo szeroki, pole rośnie. Gdzieś pośrodku jest najmniejsza wartość. Tabela podpowiada, że w okolicy x = 6, ale tabela nie jest dowodem, bo nie sprawdzamy wszystkich liczb. Dokładne miejsce minimum wyznaczymy pochodną.
6Krok 4. Pochodna funkcji P
Przepiszmy funkcję tak, żeby łatwo było ją różniczkować: 36x = 36x−1.
Pochodna stałej to zero, pochodna x to 1, a pochodną potęgi liczymy, mnożąc przez wykładnik i zmniejszając wykładnik o 1.
7Krok 5. Gdzie jest minimum
Samo miejsce zerowe pochodnej to jeszcze nie dowód, że jest tam minimum. Sprawdzamy znak pochodnej po obu stronach x = 6:
| x | (0, 6) | 6 | (6, +∞) |
|---|---|---|---|
| znak P′(x) | − | 0 | + |
| funkcja P | maleje ↘ | minimum | rośnie ↗ |
Na przykład dla x = 3 mamy P′(3) = 1 − 36/9 = −3 < 0, a dla x = 10 mamy P′(10) = 1 − 36/100 = 0,64 > 0. Funkcja najpierw maleje, potem rośnie, więc w x = 6 osiąga najmniejszą wartość.
Zadania optymalizacyjne, pochodna i badanie monotoniczności funkcji to tematy, które na maturze rozszerzonej dają dużo punktów. W moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” zaczynamy od narzędzi, na których te zadania stoją: ułamków, potęg, funkcji i wzorów, a potem przechodzimy przez cały materiał krok po kroku.
Zobacz kurs na Udemy8Krok 6. Wymiary ekranu i sprawdzenie
Sprawdźmy jeszcze, czy wynik pasuje do treści. Założyliśmy, że górny i dolny brzeg są krótsze. Rzeczywiście: szerokość smartfona 6,6 cm jest mniejsza od wysokości 11 cm, więc krótszymi brzegami są góra i dół, a marginesy 0,5 cm są przy nich. Wszystko się zgadza.
9Ciekawostka: rozwiązanie bez pochodnej
Minimum wyrażenia x + 36/x można znaleźć też bez pochodnej, korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną: dla dodatnich liczb a i b zachodzi a + b ≥ 2√(ab). Dla a = x i b = 36/x dostajemy x + 36/x ≥ 2√36 = 12, a równość zachodzi, gdy x = 36/x, czyli x = 6. Na maturze rozszerzonej oba sposoby są poprawne, ale przy zadaniach optymalizacyjnych najczęściej oczekuje się pochodnej, bo działa zawsze, także dla bardziej skomplikowanych funkcji.
10Najczęstsze błędy w tym zadaniu
Pierwszy błąd to dodanie marginesów do złych wymiarów, czyli 0,5 cm do szerokości i 0,3 cm do wysokości. Drugi to dodanie tylko jednego marginesu zamiast dwóch, na przykład y + 0,5 zamiast y + 1. Trzeci to pomyłka przy mnożeniu nawiasów, zwłaszcza zgubienie wyrazu 0,6 · 60/x = 36/x. Czwarty to brak dziedziny albo brak sprawdzenia, że w x = 6 jest minimum, a nie maksimum. Piąty to podanie wymiarów całego smartfona (6,6 × 11) zamiast wymiarów ekranu, o które pyta zadanie.
11Jak zapisać to rozwiązanie na maturze
1. x, y – wymiary ekranu, xy = 60, więc y = 60/x, x > 0.
2. Wymiary smartfona: x + 0,6 oraz y + 1.
3. P(x) = (x + 0,6)(60/x + 1) = x + 36/x + 60,6, dla x > 0.
4. P′(x) = 1 − 36/x², P′(x) = 0 ⇔ x = 6.
5. P′(x) < 0 dla x ∈ (0, 6), P′(x) > 0 dla x ∈ (6, +∞), więc w x = 6 funkcja P osiąga minimum.
6. y = 60/6 = 10.
Odpowiedź: ekran powinien mieć wymiary 6 cm × 10 cm.
Za to zadanie można było dostać 7 punktów. Punkty są przyznawane osobno za ułożenie funkcji, dziedzinę, pochodną, wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej, uzasadnienie minimum i podanie wymiarów. Dlatego każdy z tych kroków warto zapisać wprost, nawet jeśli wydaje się oczywisty.
To zadanie łączy układanie funkcji z treści, działania na ułamkach algebraicznych i pochodną. W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” każde z tych narzędzi ma osobną lekcję, a potem ćwiczysz je na zadaniach maturalnych rozwiązywanych krok po kroku. Rozwiązania zadań z matur znajdziesz też za darmo na moim kanale Po prostu Licz.
Powiązane tematy
- Teoria do tego zadaniaPochodna wzory – jak je rozumieć?
- Więcej z działu StudiaWszystkie wpisy dla studentów
- Więcej zadańZadania z rozwiązaniami krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
