Rozwiń (3x + 2y)2
Mamy nawias podniesiony do kwadratu, a w środku sumę dwóch składników. Chcemy zapisać to wyrażenie bez nawiasów. Pokażę dwa sposoby: ze wzoru skróconego mnożenia oraz bez wzoru, gdy go nie pamiętasz. Oba prowadzą do tego samego wyniku.
Słownie: kwadrat pierwszego składnika, plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego, plus kwadrat drugiego składnika.
1Rozpoznajemy, który to wzór
Patrzymy na budowę wyrażenia (3x + 2y)2. W nawiasie są dwa składniki połączone znakiem plus, a cały nawias jest podniesiony do kwadratu. Dokładnie tak wygląda lewa strona wzoru (a + b)2, więc korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Gdyby w nawiasie był minus, użylibyśmy wzoru na kwadrat różnicy.
2Ustalamy, co jest a, a co b
Pierwszy składnik w nawiasie to a, drugi to b. Zwróć uwagę, że a to całe 3x, razem z liczbą 3 stojącą przed literą. Tak samo b to całe 2y, razem z liczbą 2 stojącą przed literą.
Zatem a = 3x oraz b = 2y.
3Podstawiamy do wzoru
W każde miejsce, gdzie we wzorze jest a, wpisujemy 3x, a w miejsce b wpisujemy 2y. Składnik złożony z liczby i litery albo z liczby i pierwiastka bierzemy w nawias, żeby potęga objęła całość. Kolory pokazują, która część wzoru odpowiada której części zapisu.
Teraz liczymy każdy kolorowy fragment osobno.
4Liczymy a2 = (3x)2
Liczby mnożymy z liczbami: 3 · 3 = 9. Literę mnożymy z literą: x · x = x2. Kwadrat obejmuje cały nawias, więc dotyczy i liczby, i litery.
5Liczymy 2ab = 2 · 3x · 2y
Mnożymy osobno liczby i osobno litery. Kolejność mnożenia nie ma znaczenia, więc czynniki możemy dowolnie poprzestawiać.
Liczby mnożymy po kolei: 2 · 3 = 6, a potem 6 · 2 = 12.
Litery zapisujemy obok siebie: x · y = xy.
6Liczymy b2 = (2y)2
Liczby mnożymy z liczbami: 2 · 2 = 4. Literę mnożymy z literą: y · y = y2. Kwadrat obejmuje cały nawias, więc dotyczy i liczby, i litery.
7Składamy wynik
Wstawiamy obliczone fragmenty w miejsce kolorowych części z kroku 3:
Te trzy wyrazy są niepodobne: różnią się literami albo potęgami liter, więc nie da się ich połączyć. To jest końcowy wynik.
?Co zrobić, gdy nie pamiętasz wzoru?
Wystarczy przypomnieć sobie, co znaczy „do kwadratu”: wyrażenie mnożymy przez samo siebie. Zapisujemy więc nawias dwa razy:
Teraz mnożymy nawias przez nawias metodą „każdy z każdym”: każdy składnik z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik z drugiego nawiasu. Wychodzą cztery iloczyny:
| Co mnożymy | Działanie | Wynik |
|---|---|---|
| pierwszy z pierwszym | 3x · 3x | 9x2 |
| pierwszy z drugim | 3x · 2y | 6xy |
| drugi z pierwszym | 2y · 3x | 6xy |
| drugi z drugim | 2y · 2y | 4y2 |
Zapisujemy wszystko razem i łączymy dwa jednakowe wyrazy środkowe:
Wynik jest taki sam jak ze wzoru. Widać też, skąd we wzorze bierze się 2ab: środkowe iloczyny są identyczne, więc pojawiają się dwa razy.
!Najczęstszy błąd
10Sprawdzenie
Wynik łatwo sprawdzić, podstawiając liczby za litery. Weźmy x = 2 i y = 1. Obie strony muszą dać to samo.
Lewa strona: (6 + 2)2 = 82 = 64.
Prawa strona: 36 + 24 + 4 = 64.
Obie strony dają 64, więc rozwiązanie jest poprawne.
Powiązane tematy
- Teoria do tego zadaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- Więcej zadańZadania z rozwiązaniami krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
