Kiedy funkcja liniowa przyjmuje wartości nieujemne
Pytanie „kiedy funkcja przyjmuje wartości nieujemne” oznacza: dla jakich argumentów x wynik funkcji jest większy od zera albo równy zero. Na wykresie to te x, dla których prosta leży nad osią x albo dokładnie na niej. W tym wpisie wyjaśnię, czym wartości nieujemne różnią się od dodatnich, i rozwiążę krok po kroku dużo przykładów.
1Co znaczy „nieujemne”
Słowo „nieujemne” czytaj dosłownie: nie-ujemne, czyli wszystkie liczby, które nie są ujemne. Należą do nich liczby dodatnie oraz zero. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ale na pewno nie jest ujemne, więc jest nieujemne.
Funkcja liniowa przyjmuje wartości nieujemne dla tych x, które spełniają nierówność ax + b ≥ 0. Na wykresie to część prostej nad osią x razem z punktem, w którym prosta przecina oś.
| Określenie | Nierówność | Czy zero należy |
|---|---|---|
| dodatnie | f(x) > 0 | nie |
| ujemne | f(x) < 0 | nie |
| nieujemne | f(x) ≥ 0 | tak |
| niedodatnie | f(x) ≤ 0 | tak |
Różnica między wartościami dodatnimi a nieujemnymi to dokładnie jeden punkt: miejsce zerowe. Przy wartościach dodatnich go nie bierzemy, przy nieujemnych bierzemy. W zapisie widać to po nawiasie, a na wykresie po kółku.
2Jak to wygląda na wykresie
Na rysunkach jasnym tłem zaznaczona jest górna połowa układu, gdzie y > 0. Część prostej z wartościami nieujemnymi jest miętowa, a z ujemnymi szara. Gruba miętowa kreska na osi x pokazuje odpowiedź. W miejscu zerowym jest pełne kółko, bo ten punkt też należy do odpowiedzi.
Dla f(x) = 2x − 4 prosta przecina oś x w punkcie x = 2. Na prawo od niego jest nad osią, a w samym x = 2 leży na osi, bo f(2) = 0. Wartości nieujemne są więc dla x ≥ 2, czyli x ∈ ⟨2; +∞).
3Przepis krok po kroku
1. Zapisz nierówność ax + b ≥ 0.
2. Przenieś b na prawą stronę ze zmianą znaku: ax ≥ −b.
3. Podziel obie strony przez a. Jeśli a jest ujemne, odwróć znak: ≥ zmienia się na ≤.
4. Zapisz wynik jako przedział z nawiasem ostrym przy miejscu zerowym i sprawdź go liczbą.
| Współczynnik a | Jak wygląda prosta | Gdzie wartości nieujemne |
|---|---|---|
| a > 0 | rośnie | x ≥ x₀, czyli ⟨x₀; +∞) |
| a < 0 | maleje | x ≤ x₀, czyli (−∞; x₀⟩ |
| a = 0, b ≥ 0 | pozioma nad osią lub na osi | dla każdego x |
| a = 0, b < 0 | pozioma pod osią | dla żadnego x |
4Przykład: f(x) = 3x − 9
Najprostszy przypadek: a dodatnie, więc funkcja rośnie i wartości nieujemne są na prawo od miejsca zerowego, razem z nim.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
9 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: minus zmienia się w plus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 3
a = 3 jest dodatnie, więc znak ≥ zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 5: f(5) = 3 · 5 − 9 = 6, wynik dodatni, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(3) = 0, a 0 ≥ 0, więc x = 3 należy do odpowiedzi.
5Przykład: f(x) = −2x + 6
Współczynnik a jest ujemny, więc funkcja maleje. Wartości nieujemne będą na lewo od miejsca zerowego. Uważaj na krok 3.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
6 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −2
a = −2 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≥ zmienia się na ≤.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 1: f(1) = −2 · 1 + 6 = 4, wynik dodatni, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(3) = 0, a 0 ≥ 0, więc x = 3 należy do odpowiedzi.
6Przykład: f(x) = 14x + 1
Współczynnik a jest ułamkiem. W kroku 3 dzielimy przez ułamek, czyli mnożymy przez jego odwrotność.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
1 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 14
a = 14 jest dodatnie, więc znak ≥ zostaje bez zmian. Dzielenie przez ułamek 14 to mnożenie przez jego odwrotność, czyli przez 4.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = −2: f(−2) = 14 · (−2) + 1 = 12, wynik dodatni, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(−4) = 0, a 0 ≥ 0, więc x = −4 należy do odpowiedzi.
7Przykład: f(x) = −x − 1
Dwa minusy: a = −1 i b = −1. Funkcja maleje, więc odpowiedź będzie na lewo od miejsca zerowego.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
1 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: minus zmienia się w plus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −1
a = −1 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≥ zmienia się na ≤.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = −3: f(−3) = −1 · (−3) − 1 = 2, wynik dodatni, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(−1) = 0, a 0 ≥ 0, więc x = −1 należy do odpowiedzi.
8Przykład: f(x) = −32x + 3
Ujemny ułamek. Odwracamy znak i mnożymy przez odwrotność ułamka.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
3 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −32
a = −32 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≥ zmienia się na ≤. Dzielenie przez −32 to mnożenie przez −23.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 0: f(0) = −32 · 0 + 3 = 3, wynik dodatni, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(2) = 0, a 0 ≥ 0, więc x = 2 należy do odpowiedzi.
9Przykład: f(x) = 5x
Tu b = 0, więc prosta przechodzi przez początek układu, a miejscem zerowym jest x = 0.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
Wyraz wolny b = 0, więc nie ma czego przenosić.
Krok 3. Dzielimy przez a = 5
a = 5 jest dodatnie, więc znak ≥ zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 2: f(2) = 5 · 2 = 10, wynik dodatni, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(0) = 0, a 0 ≥ 0, więc x = 0 należy do odpowiedzi.
10Dodatnie czy nieujemne: porównanie
Weźmy tę samą funkcję f(x) = −2x + 6 i porównajmy odpowiedzi na dwa pytania.
| Pytanie | Nierówność | Wynik | Przedział |
|---|---|---|---|
| wartości dodatnie | −2x + 6 > 0 | x < 3 | (−∞; 3) |
| wartości nieujemne | −2x + 6 ≥ 0 | x ≤ 3 | (−∞; 3⟩ |
Rachunek jest identyczny, zmienia się tylko jeden znak i jeden nawias. Liczba 3 należy do drugiej odpowiedzi, bo f(3) = 0, a zero jest nieujemne.
11Funkcja stała
Gdy a = 0, funkcja ma postać f(x) = b. Tu dobrze widać różnicę między „dodatnie” a „nieujemne”.
| Funkcja | Wartości dodatnie | Wartości nieujemne |
|---|---|---|
| f(x) = 3 | x ∈ ℝ | x ∈ ℝ |
| f(x) = 0 | x ∈ ∅ | x ∈ ℝ |
| f(x) = −2 | x ∈ ∅ | x ∈ ∅ |
Funkcja f(x) = 0 nigdy nie jest dodatnia, ale zawsze jest nieujemna, bo każda jej wartość wynosi 0, a 0 ≥ 0. Jej wykres to sama oś x.
12Odczytywanie z wykresu
Prosta przecina oś x w punkcie x = 3. Na prawo od niego jest nad osią, a w samym x = 3 na osi. Dlatego odpowiedzią są wszystkie x ≥ 3.
Potwierdzenie rachunkiem: b = −2, a schodek to 3 w prawo i 2 w górę, więc a = ⅔. Nierówność ⅔x − 2 ≥ 0 daje ⅔x ≥ 2, a po pomnożeniu przez 3/2 wychodzi x ≥ 3.
13Zadanie typu maturalnego: wzór z dwóch punktów
Krok 1. Liczymy współczynnik a
a = 4 − (−4)1 − (−3) = 84 = 2.
Krok 2. Liczymy b
Wstawiamy punkt B: 4 = 2 · 1 + b, więc b = 2. Wzór funkcji: f(x) = 2x + 2.
Krok 3. Rozwiązujemy nierówność
Dzielimy przez 2, czyli liczbę dodatnią, więc znak zostaje.
14Zadanie z życia: ile przejazdów zostało na karcie
„Nie poniżej zera” oznacza, że saldo może być dodatnie albo równe zero. To właśnie wartości nieujemne: S(n) ≥ 0.
Dzielimy przez −4, więc ≥ zmienia się na ≤. Po 10 przejazdach saldo wynosi dokładnie 0 zł i to jeszcze jest w porządku. Jedenasty przejazd dałby saldo −4 zł.
15Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to nawias okrągły zamiast ostrego przy miejscu zerowym, czyli zgubienie jednego punktu odpowiedzi. Drugi to brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną, przez co przedział wychodzi po złej stronie. Trzeci to nawias ostry przy nieskończoności, a przy ∞ zawsze stoi nawias okrągły. Czwarty to mylenie „nieujemne” z „niedodatnie”: nieujemne to ≥ 0, czyli nad osią, a niedodatnie to ≤ 0, czyli pod osią.
16Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć odpowiedź i wykres.
1. Kiedy funkcja f(x) = x − 3 przyjmuje wartości nieujemne?
x ∈ ⟨3; +∞)
2. Kiedy funkcja f(x) = −2x + 8 przyjmuje wartości nieujemne?
x ∈ (−∞; 4⟩
3. Kiedy funkcja f(x) = 13x + 2 przyjmuje wartości nieujemne?
x ∈ ⟨−6; +∞)
4. Kiedy funkcja f(x) = −x przyjmuje wartości nieujemne?
x ∈ (−∞; 0⟩
5. Kiedy funkcja f(x) = 5x − 10 przyjmuje wartości nieujemne?
x ∈ ⟨2; +∞)
6. Kiedy funkcja f(x) = −12x − 2 przyjmuje wartości nieujemne?
x ∈ (−∞; −4⟩
