Kiedy funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie
Pytanie „kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie” oznacza: dla jakich argumentów x wynik funkcji jest większy od zera. Na wykresie to te x, dla których prosta leży nad osią x. W tym wpisie pokażę, jak to wyznaczyć rachunkiem i z wykresu, i rozwiążę krok po kroku dużo przykładów, także z ujemnym współczynnikiem a, przy którym najłatwiej o błąd.
1Co to znaczy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie
Wartość funkcji to y, czyli wynik, który wychodzi po wstawieniu x do wzoru. Wartość dodatnia to taka, która jest większa od zera. Szukamy więc wszystkich x, dla których f(x) > 0.
Funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie dla tych x, które spełniają nierówność ax + b > 0. Na wykresie to część prostej nad osią x.
Podobnie mówimy o innych wartościach. Wartości ujemne to f(x) < 0, czyli część prostej pod osią x. Wartości nieujemne to f(x) ≥ 0, czyli nad osią razem z punktem na osi. Wartości niedodatnie to f(x) ≤ 0.
2Jak to wygląda na wykresie
Na rysunkach w tym wpisie jasnym tłem zaznaczona jest górna połowa układu, gdzie y > 0. Część prostej, w której funkcja jest dodatnia, jest miętowa, a część, w której jest ujemna, jest czerwona. Gruba miętowa kreska na osi x pokazuje odpowiedź, czyli zbiór szukanych argumentów. Granicą jest miejsce zerowe x₀, w którym prosta przecina oś x.
Przy funkcji f(x) = 2x − 4 prosta przecina oś x w punkcie x = 2. Na prawo od niego prosta jest nad osią, więc funkcja jest dodatnia dla x > 2. Kółko w miejscu zerowym jest puste, bo w samym x = 2 wartość wynosi 0, a zero nie jest liczbą dodatnią.
3Przepis krok po kroku
1. Zapisz nierówność ax + b > 0.
2. Przenieś b na prawą stronę ze zmianą znaku: ax > −b.
3. Podziel obie strony przez a. Jeśli a jest ujemne, odwróć znak nierówności.
4. Zapisz wynik jako przedział i sprawdź go dowolną liczbą z przedziału.
| Współczynnik a | Jak wygląda prosta | Gdzie wartości dodatnie |
|---|---|---|
| a > 0 | rośnie | na prawo od miejsca zerowego: x > x₀ |
| a < 0 | maleje | na lewo od miejsca zerowego: x < x₀ |
| a = 0, b > 0 | pozioma nad osią | dla każdego x |
| a = 0, b ≤ 0 | pozioma na osi lub pod nią | dla żadnego x |
4Przykład: f(x) = −3x + 6
Tu współczynnik a jest ujemny, czyli funkcja maleje. To jest przykład, na którym najczęściej pojawia się błąd, więc patrz uważnie na krok 3.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
6 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −3
a = −3 jest ujemne, więc odwracamy znak nierówności: > zmienia się na <.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 0: f(0) = −3 · 0 + 6 = 6. Wyszła liczba dodatnia, więc wynik się zgadza.
5Przykład: f(x) = 12x + 1
Współczynnik a jest ułamkiem. Rachunek wygląda tak samo, tylko w kroku 3 dzielimy przez ułamek.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
1 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 12
a = 12 jest dodatnie, więc znak nierówności zostaje bez zmian. Dzielenie przez ułamek 12 to mnożenie przez jego odwrotność, czyli przez 2.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 0: f(0) = 12 · 0 + 1 = 1. Wyszła liczba dodatnia, więc wynik się zgadza.
6Przykład: f(x) = −x − 3
Dwa minusy: a = −1 i b = −3. Funkcja maleje, więc wartości dodatnie będą na lewo od miejsca zerowego.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
3 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: minus zmienia się w plus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −1
a = −1 jest ujemne, więc odwracamy znak nierówności: > zmienia się na <.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = −5: f(−5) = −1 · (−5) − 3 = 2. Wyszła liczba dodatnia, więc wynik się zgadza.
7Przykład: f(x) = −23x + 2
Ujemny ułamek. Odwracamy znak i dzielimy przez ułamek, czyli mnożymy przez odwrotność.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
2 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −23
a = −23 jest ujemne, więc odwracamy znak nierówności: > zmienia się na <. Dzielenie przez −23 to mnożenie przez −32.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 1: f(1) = −23 · 1 + 2 = 43. Wyszła liczba dodatnia, więc wynik się zgadza.
8Przykład: f(x) = 3x
Tu b = 0, więc prosta przechodzi przez początek układu. Miejsce zerowe to x = 0.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
Krok 3. Dzielimy przez a = 3
a = 3 jest dodatnie, więc znak nierówności zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 2: f(2) = 3 · 2 + 0 = 6. Wyszła liczba dodatnia, więc wynik się zgadza.
9Przykład: f(x) = 4x + 8
Tym razem pytamy o wartości nieujemne, czyli f(x) ≥ 0. Różnica jest tylko jedna: miejsce zerowe też należy do odpowiedzi, bo 0 jest liczbą nieujemną.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
8 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 4
a = 4 jest dodatnie, więc znak nierówności zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 0: f(0) = 4 · 0 + 8 = 8. Wyszła liczba dodatnia, więc wynik się zgadza.
10Funkcja stała
Gdy a = 0, funkcja ma postać f(x) = b i jej wykres jest poziomy. Nie ma tu czego rozwiązywać: wszystko zależy od znaku b.
Dla f(x) = 5 każda wartość wynosi 5, a 5 > 0, więc funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x: x ∈ ℝ.
Dla f(x) = −2 każda wartość wynosi −2, więc funkcja nigdy nie jest dodatnia: zbiór szukanych argumentów jest pusty, x ∈ ∅. Dla f(x) = 0 też nie, bo 0 nie jest liczbą dodatnią.
11Odczytywanie z wykresu
Gdy masz wykres, nie trzeba nic liczyć. Szukasz miejsca, w którym prosta przecina oś x, i patrzysz, po której stronie tego punktu prosta jest nad osią. Tutaj prosta przecina oś x w punkcie x = −1 i jest nad osią na lewo od niego.
Jeśli chcesz to potwierdzić rachunkiem, odczytaj wzór: prosta przechodzi przez (0, −2), więc b = −2, a schodząc o 1 w prawo spada o 2, więc a = −2. Nierówność −2x − 2 > 0 daje −2x > 2, a po podzieleniu przez −2 i odwróceniu znaku x < −1.
12Zadanie typu maturalnego: wzór z dwóch punktów
Krok 1. Liczymy współczynnik a
Współczynnik a to zmiana y podzielona przez zmianę x: a = −1 − 33 − 1 = −42 = −2. Gdy x rośnie o 2, y spada o 4.
Krok 2. Liczymy b
Wstawiamy punkt A do wzoru y = −2x + b: 3 = −2 · 1 + b, więc b = 5. Wzór funkcji: f(x) = −2x + 5.
Krok 3. Rozwiązujemy nierówność
Dzielimy przez −2, więc znak się odwraca. −5 : (−2) = 52, czyli 2,5.
13Zadanie z życia: kiedy jest zysk
Zysk oznacza, że Z(x) jest dodatnie. Gdy Z(x) jest ujemne, firma jest na minusie, bo koszty (300 zł) są większe niż przychód.
Przy dokładnie 25 kubkach zysk wynosi 0, czyli firma wychodzi na zero. Ponieważ kubki sprzedaje się w całości, zysk pojawia się od 26. kubka.
14Najczęstsze błędy
Najczęstszy błąd to brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. Wtedy wychodzi przedział z niewłaściwej strony miejsca zerowego. Pomaga sprawdzenie jedną liczbą: jeśli po wstawieniu wyjdzie wartość ujemna, coś jest nie tak. Drugi błąd to włączanie miejsca zerowego do odpowiedzi przy wartościach dodatnich: w miejscu zerowym wartość to 0, a 0 nie jest dodatnie. Trzeci to pomylenie pytania o argumenty z pytaniem o wartości. Odpowiedzią jest zbiór x, a nie zbiór y.
15Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć odpowiedź i wykres.
1. Kiedy funkcja f(x) = x − 3 przyjmuje wartości dodatnie?
x ∈ (3; +∞)
2. Kiedy funkcja f(x) = −2x + 8 przyjmuje wartości dodatnie?
x ∈ (−∞; 4)
3. Kiedy funkcja f(x) = 13x + 2 przyjmuje wartości dodatnie?
x ∈ (−6; +∞)
4. Kiedy funkcja f(x) = −x przyjmuje wartości dodatnie?
x ∈ (−∞; 0)
5. Kiedy funkcja f(x) = 5x − 10 przyjmuje wartości dodatnie?
x ∈ (2; +∞)
6. Kiedy funkcja f(x) = −12x − 2 przyjmuje wartości dodatnie?
x ∈ (−∞; −4)
