Kiedy wykresy funkcji liniowych są równoległe
Dwie proste są równoległe, gdy biegną obok siebie i nigdy się nie przecinają, jak tory kolejowe albo linie w zeszycie. W przypadku funkcji liniowych sprawdzenie tego jest bardzo proste: wystarczy porównać jedną liczbę ze wzoru. W tym wpisie wyjaśnię, którą i dlaczego, a potem rozwiążę krok po kroku zadania, które najczęściej pojawiają się na sprawdzianach i maturze.
1Warunek równoległości
Wykresy dwóch funkcji liniowych są równoległe wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy a. Wyrazy wolne b mogą być dowolne. Znak ∥ czytamy „jest równoległa do”.
Na rysunku są trzy proste o tym samym a = 2: y = 2x + 3, y = 2x i y = 2x − 3. Każda z nich jest tak samo nachylona, różnią się tylko miejscem przecięcia z osią y.
2Dlaczego właśnie a
Współczynnik a mówi, o ile zmienia się y, gdy x rośnie o 1. Jeśli dwie proste mają to samo a, to przy każdym kroku w prawo obie podnoszą się (albo opadają) dokładnie o tyle samo. Odległość między nimi w pionie się nie zmienia, więc nigdy się nie spotkają.
Można to też pokazać rachunkiem. Punkt wspólny dwóch prostych to taki x, dla którego obie funkcje mają tę samą wartość. Dla y = 2x + 3 i y = 2x − 3 dostajemy równanie 2x + 3 = 2x − 3. Po odjęciu 2x od obu stron zostaje 3 = −3, co jest nieprawdą. Równanie nie ma rozwiązania, więc proste nie mają punktu wspólnego.
3Równoległe, pokrywające się czy przecinające
| Warunek | Co się dzieje | Punkty wspólne |
|---|---|---|
| a1 = a2 i b1 ≠ b2 | proste równoległe, rozłączne | brak |
| a1 = a2 i b1 = b2 | to ta sama prosta, wykresy się pokrywają | nieskończenie wiele |
| a1 ≠ a2 | proste się przecinają | dokładnie jeden |
Proste, które się pokrywają, też uznaje się za równoległe, ale w zadaniach zwykle chodzi o proste różne. Jeśli w zadaniu jest mowa o prostych „równoległych i różnych”, sprawdź też, czy b jest inne.
4Czy te proste są równoległe? Przykłady
W każdym przykładzie robimy to samo: zapisujemy oba wzory w postaci y = ax + b, odczytujemy a i porównujemy.
| Proste | a1 | a2 | Wniosek |
|---|---|---|---|
| y = 3x + 2 i y = 3x − 5 | 3 | 3 | równoległe |
| y = 2x + 1 i y = −2x + 1 | 2 | −2 | nie, znaki są różne, proste przecinają się w (0, 1) |
| y = 12x + 4 i y = 0,5x − 1 | 12 | 0,5 | równoległe, bo 12 = 0,5 |
| y = 4 − x i y = −x + 7 | −1 | −1 | równoległe |
| y = 2x + 3 i y = 2x + 3 | 2 | 2 | ta sama prosta, wykresy się pokrywają |
| y = 5x + 1 i y = x + 5 | 5 | 1 | nie, przecinają się |
| y = 3 i y = −2 | 0 | 0 | równoległe, obie poziome |
Przykład ze wzorem w innej postaci
Pierwszy wzór nie jest w postaci y = ax + b, więc najpierw wyznaczamy y. Przenosimy y na prawą stronę: 2x + 1 = y, czyli y = 2x + 1. Teraz widać a1 = 2. Druga prosta ma a2 = 2, więc współczynniki są równe, a wyrazy wolne różne (1 i −6).
5Wzór prostej równoległej przechodzącej przez punkt
To najczęstsze zadanie z tego tematu. Przepis zawsze jest ten sam: z prostej równoległości bierzemy a, a b wyliczamy z punktu.
1. Przepisz a z podanej prostej, bo proste równoległe mają ten sam współczynnik.
2. Zapisz wzór y = ax + b z tym a i nieznanym b.
3. Wstaw współrzędne punktu za x i y i oblicz b.
4. Zapisz gotowy wzór i sprawdź, czy punkt go spełnia.
Krok 1. Bierzemy a z podanej prostej
Prosta y = 2x + 5 ma a = 2. Nasza prosta jest do niej równoległa, więc też ma a = 2. Wzór ma postać y = 2x + b.
Krok 2. Wstawiamy punkt i liczymy b
Punkt P = (1, −1) leży na prostej, więc wstawiamy x = 1 i y = −1:
Krok 3. Zapisujemy wzór i sprawdzamy
Wzór: y = 2x − 3. Sprawdzenie dla x = 1: 2 · 1 − 3 = −1, czyli dokładnie y punktu P.
Krok 1. Bierzemy a z podanej prostej
Prosta y = −3x + 1 ma a = −3. Nasza prosta jest do niej równoległa, więc też ma a = −3. Wzór ma postać y = −3x + b.
Krok 2. Wstawiamy punkt i liczymy b
Punkt P = (−2, 4) leży na prostej, więc wstawiamy x = −2 i y = 4:
Krok 3. Zapisujemy wzór i sprawdzamy
Wzór: y = −3x − 2. Sprawdzenie dla x = −2: −3 · (−2) − 2 = 4, czyli dokładnie y punktu P.
Krok 1. Bierzemy a z podanej prostej
Prosta y = 12x − 1 ma a = 12. Nasza prosta jest do niej równoległa, więc też ma a = 12. Wzór ma postać y = 12x + b.
Krok 2. Wstawiamy punkt i liczymy b
Punkt P = (4, 5) leży na prostej, więc wstawiamy x = 4 i y = 5:
Krok 3. Zapisujemy wzór i sprawdzamy
Wzór: y = 12x + 3. Sprawdzenie dla x = 4: 12 · 4 + 3 = 5, czyli dokładnie y punktu P.
6Zadanie z parametrem
Współczynnik kierunkowy funkcji f to całe wyrażenie stojące przy x, czyli m − 1. Funkcja g ma a = 4. Proste są równoległe, gdy te współczynniki są równe:
Sprawdzenie: dla m = 5 mamy f(x) = 4x + 3. Obie funkcje mają a = 4, a różne b (3 i −2), więc wykresy są równoległe i się nie pokrywają.
Porównujemy współczynniki przy x: 2m + 1 = m − 3. Przenosimy m na lewą stronę, a liczby na prawą: 2m − m = −3 − 1, czyli m = −4.
Sprawdzenie: dla m = −4 pierwsza prosta to y = −7x, a druga y = −7x + 1. Ten sam współczynnik, różne b, więc są równoległe.
7Odczytywanie z wykresu
Najpierw odczytujemy a z wykresu f. Od punktu (0, −1) do punktu (2, −2) x rośnie o 2, a y spada o 1, więc a = −1/2. Szukana prosta ma to samo a, a punkt (0, 2) mówi od razu, że b = 2.
8Równoległe w życiu: dwie taksówki
Taksówka A bierze 6 zł opłaty startowej i 3 zł za kilometr, taksówka B bierze 10 zł startowej i też 3 zł za kilometr. Koszty to y = 3x + 6 oraz y = 3x + 10. Wykresy są równoległe, bo cena za kilometr (czyli a) jest taka sama.
Co z tego wynika? Taksówka B jest zawsze droższa o dokładnie 4 zł, niezależnie od długości trasy. Koszty nigdy się nie zrównają, bo równoległe proste się nie przecinają. Gdyby B miała niższą cenę za kilometr, wykresy w pewnym miejscu by się przecięły i od tej odległości B byłaby tańsza.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to porównywanie b zamiast a. O równoległości decyduje tylko współczynnik przy x. Drugi to porównywanie wzorów, które nie są zapisane w postaci y = ax + b, na przykład 2x − y + 1 = 0. Najpierw trzeba wyznaczyć y. Trzeci to zgubienie znaku: y = 2x i y = −2x nie są równoległe. Czwarty to pomylenie warunku równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległe mają a1 = a2, a prostopadłe a1 · a2 = −1.
10Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie i wykres.
1. Czy proste y = −4x + 1 i y = −4x − 3 są równoległe?
tak, obie mają a = −4
2. Czy proste y = 3x + 2 i y = 2x + 3 są równoległe?
nie, a = 3 i a = 2, przecinają się w (1, 5)
3. Wzór prostej równoległej do y = x + 4, przechodzącej przez (2, 0).
0 = 2 + b, więc b = −2: y = x − 2
4. Wzór prostej równoległej do y = −2x + 1, przechodzącej przez (1, 3).
3 = −2 + b, więc b = 5: y = −2x + 5
5. Dla jakiego m proste y = (m + 2)x i y = 5x − 1 są równoległe?
m + 2 = 5, więc m = 3
6. Czy proste x − y + 3 = 0 i y = x − 1 są równoległe?
x − y + 3 = 0 to y = x + 3, więc tak, obie mają a = 1
