Kiedy wykresy funkcji liniowych są prostopadłe
Dwie proste są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym, czyli 90°, jak krawędzie kartki albo linie na skrzyżowaniu ulic. Przy funkcjach liniowych da się to sprawdzić bez kątomierza, porównując współczynniki kierunkowe. W tym wpisie wyjaśnię, jaki warunek muszą spełniać, skąd się bierze, i rozwiążę krok po kroku typowe zadania.
1Warunek prostopadłości
Wykresy dwóch funkcji liniowych są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1. Wyrazy wolne b nie mają znaczenia. Znak ⊥ czytamy „jest prostopadła do”.
Na rysunku są proste y = 2x + 1 oraz y = −½x + 3. Iloczyn współczynników to 2 · (−½) = −1, więc są prostopadłe. Pomarańczowy kwadracik oznacza kąt prosty.
2Jak znaleźć współczynnik prostopadły
Z warunku a1 · a2 = −1 wynika, że a2 = −1/a1. W praktyce robimy dwie rzeczy naraz: odwracamy liczbę (zamieniamy licznik z mianownikiem) i zmieniamy znak.
| a1 | Odwrotność | Zmiana znaku: a2 | Sprawdzenie a1 · a2 |
|---|---|---|---|
| 2 | 12 | −12 | 2 · (−12) = −1 |
| −3 | −13 | 13 | −3 · 13 = −1 |
| 12 | 2 | −2 | 12 · (−2) = −1 |
| −23 | −32 | 32 | −23 · 32 = −1 |
| 1 | 1 | −1 | 1 · (−1) = −1 |
| 0,25 = 14 | 4 | −4 | 14 · (−4) = −1 |
| 3 | 13 = 33 | −33 | 3 · (−33) = −1 |
Gdy a jest liczbą dziesiętną, najpierw zamień ją na ułamek zwykły, bo wtedy łatwo ją odwrócić: 0,25 = ¼, 1,5 = ³⁄₂, 0,2 = ⅕.
3Dlaczego właśnie −1
Współczynnik a = 2 oznacza schodek: 1 w prawo i 2 w górę. Obróćmy ten schodek o 90°. Krok „1 w prawo” staje się krokiem „1 w górę”, a krok „2 w górę” staje się krokiem „2 w lewo”. Nowy schodek to więc 2 w lewo i 1 w górę, czyli równoważnie 2 w prawo i 1 w dół. Taka prosta ma współczynnik −1/2.
Ogólnie: schodek prostej o współczynniku a to (1 w prawo, a w górę). Po obrocie o 90° dostajemy (a w lewo, 1 w górę), więc nowy współczynnik to 1 podzielone przez −a, czyli −1/a. Stąd warunek a1 · a2 = −1.
Wyjątek: prosta pozioma, czyli a = 0. Prostopadła do niej jest pionowa, na przykład x = 3, a pionowa prosta nie jest wykresem funkcji. Dlatego do funkcji stałej nie ma prostopadłej funkcji liniowej, a wzór −1/a nie działa, bo nie dzieli się przez zero.
4Czy te proste są prostopadłe? Przykłady
W każdym przykładzie zapisujemy wzory w postaci y = ax + b, odczytujemy a i mnożymy. Jeśli wyjdzie −1, proste są prostopadłe.
| Proste | Iloczyn a1 · a2 | Wniosek |
|---|---|---|
| y = 3x + 1 i y = −13x + 2 | 3 · (−13) = −1 | prostopadłe |
| y = 2x i y = −2x | 2 · (−2) = −4 | nie, sama zmiana znaku nie wystarczy |
| y = 12x − 1 i y = −2x + 5 | 12 · (−2) = −1 | prostopadłe |
| y = −x + 3 i y = x − 7 | −1 · 1 = −1 | prostopadłe |
| y = 4x i y = 14x | 4 · 14 = 1 | nie, brakuje minusa |
| y = −23x i y = 1,5x | −23 · 32 = −1 | prostopadłe, bo 1,5 = 32 |
| y = 3x + 2 i y = 3x − 1 | 3 · 3 = 9 | nie, to proste równoległe |
Przykład ze wzorem w innej postaci
Wyznaczamy y z pierwszego równania: przenosimy 2x i −3 na prawą stronę, y = −2x + 3. Zatem a1 = −2, a2 = ½. Iloczyn: −2 · 12 = −1.
5Wzór prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt
1. Odczytaj a z podanej prostej.
2. Policz współczynnik prostopadły: odwróć liczbę i zmień znak.
3. Wstaw współrzędne punktu do wzoru y = ax + b i oblicz b.
4. Zapisz wzór i sprawdź, czy punkt go spełnia.
Krok 1. Odczytujemy a podanej prostej
Prosta y = 2x + 5 ma a = 2.
Krok 2. Liczymy współczynnik prostopadły
Odwracamy 2 i zmieniamy znak: a = −12. Sprawdzenie: 2 · (−12) = −1.
Krok 3. Wstawiamy punkt i liczymy b
Krok 4. Zapisujemy wzór i sprawdzamy
Wzór: y = −12x + 2. Dla x = 2: −12 · 2 + 2 = 1, czyli y punktu P.
Krok 1. Odczytujemy a podanej prostej
Prosta y = −3x + 1 ma a = −3.
Krok 2. Liczymy współczynnik prostopadły
Odwracamy −3 i zmieniamy znak: a = 13. Sprawdzenie: −3 · 13 = −1.
Krok 3. Wstawiamy punkt i liczymy b
Krok 4. Zapisujemy wzór i sprawdzamy
Wzór: y = 13x + 3. Dla x = 3: 13 · 3 + 3 = 4, czyli y punktu P.
Krok 1. Odczytujemy a podanej prostej
Prosta y = 23x − 1 ma a = 23.
Krok 2. Liczymy współczynnik prostopadły
Odwracamy 23 i zmieniamy znak: a = −32. Sprawdzenie: 23 · (−32) = −1.
Krok 3. Wstawiamy punkt i liczymy b
Krok 4. Zapisujemy wzór i sprawdzamy
Wzór: y = −32x + 2. Dla x = 2: −32 · 2 + 2 = −1, czyli y punktu P.
6Zadanie z parametrem
Współczynnik funkcji f to m + 1, a funkcji g to ½. Iloczyn musi wynosić −1: (m + 1) · 12 = −1. Mnożymy obie strony przez 2: m + 1 = −2, więc m = −3.
Sprawdzenie: dla m = −3 mamy f(x) = −2x − 3, a −2 · 12 = −1.
m · 4 = −1, więc m = −14. To po prostu współczynnik prostopadły do 4: odwrotność to ¼, a po zmianie znaku −¼.
7Zadanie typu maturalnego: wysokość trójkąta
Wysokość z wierzchołka C to odcinek, który wychodzi z C i jest prostopadły do przeciwległego boku AB. Potrzebujemy więc prostej prostopadłej do AB, przechodzącej przez C.
Krok 1. Współczynnik prostej AB
aAB = 5 − 12 − 0 = 42 = 2.
Krok 2. Współczynnik prostopadły
Odwracamy 2 i zmieniamy znak: a = −½.
Krok 3. Prosta przez C = (4, 0)
0 = −12 · 4 + b, czyli 0 = −2 + b, skąd b = 2.
8Odczytywanie z wykresu
Odczytujemy a funkcji f: od (0, −1) do (2, 2) x rośnie o 2, a y o 3, więc a = ³⁄₂. Współczynnik prostopadły to −⅔. Prosta przechodzi przez (0, 0), więc b = 0.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to tylko zmiana znaku: do 3 ktoś bierze −3, a powinno być −⅓. Drugi to tylko odwrócenie bez zmiany znaku: do 3 ktoś bierze ⅓. Trzeci to pomylenie z warunkiem równoległości, przy którym współczynniki są równe. Czwarty to błędne odwracanie ułamków ujemnych: odwrotność −⅔ to −³⁄₂, a po zmianie znaku ³⁄₂. Piąty to porównywanie wzorów, które nie są w postaci y = ax + b. Na każdy z tych błędów pomaga to samo: na końcu pomnóż oba współczynniki i sprawdź, czy wychodzi −1.
10Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie i wykres.
1. Podaj współczynnik prostej prostopadłej do y = 5x − 2.
a = −⅕, bo 5 · (−⅕) = −1
2. Czy proste y = −4x + 1 i y = ¼x − 3 są prostopadłe?
tak, −4 · ¼ = −1
3. Czy proste y = 2x + 1 i y = −2x + 1 są prostopadłe?
nie, 2 · (−2) = −4
4. Wzór prostej prostopadłej do y = x + 2, przechodzącej przez (1, 3).
a = −1, 3 = −1 + b, więc y = −x + 4
5. Wzór prostej prostopadłej do y = −2x, przechodzącej przez (2, 4).
a = ½, 4 = 1 + b, więc y = ½x + 3
6. Dla jakiego m proste y = (m − 2)x i y = −x + 5 są prostopadłe?
(m − 2) · (−1) = −1, więc m − 2 = 1, m = 3
