Funkcja liniowa: co oznacza a i b?
Każda funkcja liniowa ma wzór y = ax + b. Dwie litery, a i b, mówią o niej wszystko: jak bardzo i w którą stronę prosta jest nachylona oraz gdzie przecina oś y. Jeśli zrozumiesz, co oznaczają, będziesz w stanie narysować wykres bez tabelki, odczytać wzór z rysunku i rozwiązać większość zadań z funkcji liniowej. W tym wpisie wyjaśniam obie liczby krok po kroku, z rysunkami i przykładami.
1Wzór funkcji liniowej
a to współczynnik kierunkowy, czyli liczba stojąca przy x. b to wyraz wolny, czyli liczba stojąca samotnie, bez x. W całym wpisie a jest pomarańczowe, a b miętowe.
Żeby odczytać a i b, patrzysz, co stoi przy x, a co osobno. Znak należy do liczby: jeśli przed liczbą jest minus, to ta liczba jest ujemna.
| Wzór | a | b | Komentarz |
|---|---|---|---|
| y = 3x + 5 | 3 | 5 | zwykły zapis |
| y = −2x + 1 | −2 | 1 | minus należy do a |
| y = x − 4 | 1 | −4 | samo x to 1 · x |
| y = −x | −1 | 0 | −x to −1 · x, brak liczby to b = 0 |
| y = 7 | 0 | 7 | brak x, więc a = 0 |
| y = 2 − 5x | −5 | 2 | inna kolejność |
| y = 12x − 34 | 12 | −34 | ułamki też mogą być |
| y = x3 + 2 | 13 | 2 | x3 to 13x |
2Co oznacza b: punkt przecięcia z osią y
Dlaczego? Każdy punkt na osi y ma pierwszą współrzędną równą 0. Wstawiamy więc x = 0 do wzoru: y = a · 0 + b = b. Niezależnie od tego, ile wynosi a, przy x = 0 zawsze zostaje samo b.
Na rysunku są trzy proste o tym samym a = 1 i różnych b. Wszystkie są tak samo nachylone, różnią się tylko wysokością. Zmiana b przesuwa prostą w górę albo w dół, nie obracając jej.
| Funkcja | b | Przecina oś y w punkcie |
|---|---|---|
| y = 2x + 4 | 4 | (0, 4) |
| y = −3x − 1 | −1 | (0, −1) |
| y = 5x | 0 | (0, 0), czyli początek układu |
| y = −x + 12 | 12 | (0, 12) |
3Co oznacza a: nachylenie prostej
Współczynnik a mówi, jak szybko rosną albo maleją wartości funkcji. Weźmy y = 2x + 1 i policzmy kilka wartości: dla x = 0 mamy y = 1, dla x = 1 mamy y = 3, dla x = 2 mamy y = 5. Każdy krok o 1 w prawo podnosi wykres o 2, czyli dokładnie o a.
Pomarańczowa strzałka to krok o 1 w prawo, miętowa to zmiana y o a = 2. Taki schodek wygląda tak samo w każdym miejscu prostej, dlatego wykres funkcji liniowej jest prostą, a nie krzywą.
Znak a: rośnie czy maleje
Na rysunku są proste o tym samym b = 1 i różnych a. Wszystkie przechodzą przez punkt (0, 1), ale każda jest inaczej nachylona.
| Współczynnik a | Funkcja jest | Wykres |
|---|---|---|
| a > 0 | rosnąca | idąc w prawo, wznosi się |
| a < 0 | malejąca | idąc w prawo, opada |
| a = 0 | stała | pozioma prosta y = b |
Wielkość a: jak stroma jest prosta
Im większa jest liczba a bez znaku (czyli jej wartość bezwzględna), tym bardziej stroma prosta. Prosta z a = 2 jest bardziej stroma niż z a = ½, a prosta z a = −5 jest bardziej stroma niż z a = −1. Gdy a jest bliskie zera, prosta jest prawie pozioma.
4a jako zmiana y podzielona przez zmianę x
Gdy znasz dwa punkty prostej, a obliczysz bez wzoru funkcji. Wystarczy sprawdzić, o ile zmienił się y i o ile zmienił się x, a potem podzielić te liczby.
Zmiana y: 8 − 2 = 6. Zmiana x: 4 − 1 = 3. Zatem a = 63 = 2. Gdy x rośnie o 3, y rośnie o 6, czyli na każdy krok o 1 przypada wzrost o 2.
5a jako tangens kąta nachylenia
Kąt nachylenia prostej to kąt α między prostą a dodatnią częścią osi x. Współczynnik a jest równy tangensowi tego kąta: a = tg α. To zależność, która często pojawia się na maturze.
| a | Kąt nachylenia α | Dlaczego |
|---|---|---|
| 1 | 45° | tg 45° = 1 |
| 3 | 60° | tg 60° = 3 |
| 33 | 30° | tg 30° = 33 |
| 0 | 0° | prosta pozioma |
| −1 | 135° | tg 135° = −1, prosta malejąca |
Dla prostej rosnącej kąt jest ostry (mniejszy niż 90°), a dla malejącej rozwarty (większy niż 90°).
6Proste równoległe i prostopadłe
Dwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik a, bo są tak samo nachylone. Na przykład y = 3x + 1 i y = 3x − 5 są równoległe. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników wynosi −1, czyli a₁ · a₂ = −1. Na przykład y = 2x + 1 i y = −½x + 3 są prostopadłe, bo 2 · (−½) = −1.
Żeby znaleźć współczynnik prostej prostopadłej, odwróć ułamek i zmień znak. Do a = 2 prostopadłe jest −½, do a = −⅔ prostopadłe jest ³⁄₂.
7Odczytywanie a i b z wykresu
Krok 1. b odczytujemy z osi y
Prosta przecina oś y w punkcie (0, −3), więc b = −3.
Krok 2. a odczytujemy ze schodka
Z punktu (0, −3) idziemy w prawo do punktu (2, 0), który leży w kratkach. Zmiana x to 2, zmiana y to 3 w górę, więc a = 3/2. Prosta rośnie, więc a jest dodatnie, i to się zgadza.
Prosta przecina oś y w (0, 4), więc b = 4. Idąc od (0, 4) do (4, 0), x rośnie o 4, a y spada o 4. Zatem a = −4/4 = −1. Prosta maleje, więc ujemne a się zgadza.
8Wyznaczanie a i b z warunków zadania
Równoległa oznacza to samo a, więc a = 2. Punkt przecięcia z osią y to (0, b), więc b = −3. Nie trzeba nic liczyć, wystarczy wiedzieć, co oznaczają obie liczby.
Znamy a = 3, więc wzór ma postać y = 3x + b. Punkt (2, 5) leży na prostej, więc wstawiamy x = 2 i y = 5: 5 = 3 · 2 + b, czyli 5 = 6 + b, skąd b = −1.
9a i b w życiu: taksówka
Za przejazd taksówką płacisz 8 zł opłaty początkowej oraz 3 zł za każdy kilometr. Koszt przejazdu x kilometrów to y = 3x + 8.
| Liczba | Co oznacza w zadaniu |
|---|---|
| a = 3 | cena za każdy kolejny kilometr: o tyle rośnie koszt, gdy przejedziesz 1 km więcej |
| b = 8 | opłata startowa: tyle płacisz, zanim taksówka w ogóle ruszy, czyli dla x = 0 |
Tak jest w każdym zadaniu tekstowym z funkcją liniową. b to wartość na starcie (przy x = 0), a a to stała zmiana na jednostkę. Przy abonamencie telefonicznym b to stała opłata miesięczna, a a to cena za minutę. Przy napełnianiu wanny b to woda na początku, a a to liczba litrów przybywająca w minutę.
10Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to mylenie a z b, gdy wzór jest zapisany w innej kolejności, jak y = 4 − 3x. Drugi to zgubienie znaku: w y = −2x + 1 współczynnik a to −2, a nie 2. Trzeci to przekonanie, że b to miejsce zerowe, choć b mówi o przecięciu z osią y. Czwarty to odejmowanie w różnej kolejności przy liczeniu a z dwóch punktów. Piąty dotyczy samego x i samego −x: współczynnik wynosi wtedy 1 albo −1, a nie 0.
11Sprawdź się
Odpowiedz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Podaj a i b dla y = −4x + 7.
a = −4, b = 7
2. Podaj a i b dla y = 6 − x.
a = −1, b = 6
3. W którym punkcie wykres y = 3x − 2 przecina oś y?
(0, −2)
4. Czy funkcja y = −13x + 2 jest rosnąca czy malejąca?
malejąca, bo a = −13 < 0
5. Oblicz a dla prostej przez (0, 1) i (2, 7).
a = (7 − 1) : (2 − 0) = 3
6. Podaj wzór prostej równoległej do y = −2x + 3, przecinającej oś y w (0, 4).
y = −2x + 4
