Mnożenie i dzielenie ułamków jest prostsze niż dodawanie, bo nie trzeba szukać wspólnego mianownika. Wystarczą dwie reguły i jedna sztuczka ze skracaniem. W tym wpisie pokazuję obie reguły, wyjaśniam na rysunkach, dlaczego działają, i rozwiązuję krok po kroku przykłady z liczbami całkowitymi, liczbami mieszanymi, ułamkami piętrowymi i ujemnymi.
1Mnożenie ułamków
Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Wspólny mianownik nie jest potrzebny.
Dlaczego to działa
Słowo „z” w zdaniu „pół z trzeciej części” oznacza mnożenie. 2/3 · 3/4 to „dwie trzecie z trzech czwartych”. Na rysunku prostokąt podzielono na 4 kolumny i 3 wiersze. Pomarańczowe kolumny to 3/4 prostokąta, a miętowe wiersze to 2/3. Część wspólna, czyli dwie trzecie z trzech czwartych, to 6 kratek z 12, czyli 6/12 = 1/2.
Mianownik 12 to liczba wszystkich kratek, czyli 3 · 4. Licznik 6 to liczba kratek w części wspólnej, czyli 2 · 3. Stąd reguła.
2Skracanie przed mnożeniem
Zanim wymnożysz, sprawdź, czy da się coś skrócić. Wolno skracać dowolny licznik z dowolnym mianownikiem, także „na krzyż”, czyli licznik pierwszego ułamka z mianownikiem drugiego. Dzięki temu liczby są mniejsze i nie trzeba skracać na końcu.
4 i 8 dzielą się przez 4: zostaje 1 i 2. 3 i 9 dzielą się przez 3: zostaje 1 i 3.
Bez skracania wyszłoby 12/72, a potem i tak trzeba by to skrócić przez 12.
3Ułamek razy liczba całkowita
Liczbę całkowitą zapisujemy jako ułamek z mianownikiem 1 i mnożymy normalnie. W praktyce wystarczy pomnożyć licznik przez liczbę: 34 · 8 = 34 · 81 = 244 = 6. Ze skracaniem jeszcze szybciej: 8 i 4 skracamy przez 4, zostaje 3 · 2 = 6.
Ma to też prosty sens: 3/4 z 8 to trzy czwarte z ośmiu, czyli 6. Czwarta część z 8 to 2, a trzy takie części to 6.
4Liczby mieszane
Przed mnożeniem liczby mieszane trzeba zamienić na ułamki niewłaściwe. Mnożymy całość przez mianownik i dodajemy licznik.
Krok 1. Zamieniamy na ułamki niewłaściwe
Krok 2. Mnożymy, skracając 4 z 2
Działania na ułamkach zwykłych, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną lekcję, a przed nią są lekcje o rodzajach ułamków, skracaniu, rozszerzaniu i wspólnym mianowniku. To pierwszy dział kursu i podstawa całej reszty.
Zobacz kurs na Udemy5Odwrotność liczby
Odwrotność liczby to taka liczba, która pomnożona przez nią daje 1. Odwrotność ułamka dostajemy, zamieniając miejscami licznik z mianownikiem.
| Liczba | Odwrotność | Sprawdzenie |
|---|---|---|
| 23 | 32 | 23 · 32 = 1 |
| 5 | 15 | 5 · 15 = 1 |
| 17 | 7 | 17 · 7 = 1 |
| 112 = 32 | 23 | 32 · 23 = 1 |
| −45 | −54 | znak zostaje |
| 0 | nie istnieje | nic pomnożone przez 0 nie da 1 |
Przy liczbie mieszanej najpierw zamień ją na ułamek niewłaściwy. Odwrotność 1½ to 2/3, a nie 1 i 2/1.
6Dzielenie ułamków
Dzielenie przez ułamek zamieniamy na mnożenie przez jego odwrotność. Pierwszy ułamek zostaje bez zmian, znak dzielenia zmienia się na mnożenie, a drugi ułamek odwracamy.
Dlaczego to działa
Dzielenie odpowiada na pytanie „ile razy jedno mieści się w drugim?”. Ile razy ¼ mieści się w ¾? Na rysunku widać, że 3 razy. Ze wzoru: 3/4 : 1/4 = 3/4 · 4/1 = 3.
Podobnie 2 : ⅓ to pytanie, ile trzecich części mieści się w dwóch całościach. W każdej całości są 3 trzecie, więc w dwóch jest ich 6. Ze wzoru: 2 · 3 = 6. Dzielenie przez ułamek mniejszy od 1 daje więc wynik większy od dzielnej.
Przykłady
Odwracamy drugi ułamek, a potem skracamy na krzyż: 3 z 9 przez 3 oraz 10 z 5 przez 5.
4 · 32 = 122 = 6. Sprawdzenie: w 4 całościach mieści się 6 kawałków po ⅔, bo 6 · ⅔ = 4.
Odwrotność 5 to 1/5: 56 · 15 = 16. Podzielenie przez 5 to wzięcie piątej części, więc wynik jest mniejszy.
Zamieniamy: 313 = 103, 114 = 54. Odwracamy drugi: 103 · 45 = 83 = 223. Po drodze skracamy 10 z 5.
7Ułamki piętrowe i znaki
Ułamek piętrowy to ułamek, w którego liczniku lub mianowniku stoi inny ułamek. Kreska główna oznacza dzielenie, więc zapisujemy go jako dzielenie i liczymy jak wyżej.
Znak wyniku ustalamy jak przy zwykłych liczbach: plus razy minus daje minus, minus razy minus daje plus. (−23) · 34 = −12, a (−45) : (−25) = 2.
Mnożenie i dzielenie ułamków pojawia się na maturze w obliczaniu wartości wyrażeń, w procentach, w prawdopodobieństwie, gdzie wyniki często mnoży się jak ułamki, oraz w wyrażeniach wymiernych, gdzie obowiązują dokładnie te same reguły, tylko z x. Na egzaminie warto skracać przed mnożeniem, bo mniejsze liczby to mniej okazji do pomyłki.
A. 1
B. 94
C. 49
D. 32
Rozwiązanie: mnożenie i dzielenie wykonujemy od lewej. 23 · 94 = 1812 = 32, a 32 : 32 = 1, bo liczba podzielona przez samą siebie daje 1. Odpowiedź A. Odpowiedź D wychodzi, gdy pominie się ostatnie dzielenie, a B, gdy zacznie się od dzielenia 9/4 przez 3/2 i pomyli odwrotność.
Rozwiązanie: najpierw nawias. 112 = 32 = 64, więc 64 − 34 = 34. Liczbę mieszaną zamieniamy: 118 = 98. Dzielimy: 34 : 98 = 34 · 89 = 23, skracając 3 z 9 oraz 8 z 4. Odpowiedź: 23.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to szukanie wspólnego mianownika przy mnożeniu, co jest niepotrzebne i często prowadzi do pomyłek. Drugi to odwracanie przy dzieleniu pierwszego ułamka zamiast drugiego. Trzeci to mnożenie liczb mieszanych „całość z całością, ułamek z ułamkiem”. Czwarty to skracanie licznika z licznikiem albo mianownika z mianownikiem. Piąty to złe odwrócenie liczby mieszanej, na przykład 1½ jako 2/1 zamiast 2/3. Szósty to zgubienie znaku przy ułamkach ujemnych.
9Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz 35 · 27
635
2. Oblicz 58 · 415
skracamy: 12 · 13 = 16
3. Oblicz 29 · 12
249 = 83 = 223
4. Oblicz 112 · 223
32 · 83 = 4
5. Oblicz 47 : 27
47 · 72 = 2
6. Oblicz 6 : 34
6 · 43 = 8
7. Oblicz 710 : 14
710 · 114 = 120
8. Oblicz 214 : 112
94 · 23 = 32 = 112
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” ułamki zwykłe i dziesiętne są pierwszym działem: rodzaje ułamków, skracanie i rozszerzanie, wspólny mianownik, wszystkie cztery działania i zamiana ułamków okresowych. Potem przechodzisz przez potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy, funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: UłamkiUłamek Zwykły: Wprowadzenie do Matematyki – YouTube
- WcześniejDodawanie i odejmowanie ułamków
- DalejZamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
