Ułamek okresowy na zwykły: jak zamienić 0,(3) i 0,1(6)?

Gdy podzielisz 1 przez 3, dostaniesz 0,3333… i trójek nigdy nie zabraknie. Taki ułamek dziesiętny, w którym jakaś grupa cyfr powtarza się w nieskończoność, nazywamy ułamkiem okresowym. W tym wpisie pokazuję, jak zamienić go z powrotem na ułamek zwykły. Najpierw metodą, która działa zawsze i którą łatwo zrozumieć, a potem sposobem na skróty. Wszystko krok po kroku, na przykładach 0,(3), 0,1(6) i kilku trudniejszych.

1Co to jest ułamek okresowy

Ułamek okresowy to ułamek dziesiętny nieskończony, w którym od pewnego miejsca ta sama grupa cyfr powtarza się bez końca. Ta powtarzająca się grupa to okres. Zapisujemy ją w nawiasie, żeby nie pisać kropek.

Skąd się biorą? Przy dzieleniu pisemnym 1 przez 3 za każdym razem zostaje reszta 1, więc obliczenia powtarzają się w kółko i w wyniku powtarza się ta sama cyfra. Każdy ułamek okresowy da się zapisać jako ułamek zwykły, czyli jest liczbą wymierną.

2Metoda równania: działa zawsze

Idea jest prosta. Okres ciągnie się w nieskończoność, więc gdy przesuniemy przecinek, „ogon” po przecinku zostaje taki sam. Jeśli odejmiemy od siebie dwie liczby z takim samym ogonem, ogon zniknie i zostanie zwykłe równanie.

Krok 1. Oznaczamy liczbę przez x

Krok 2. Mnożymy przez 10, bo okres ma 1 cyfrę

Mnożymy przez 10, żeby przecinek przesunął się dokładnie o jeden okres w prawo.

Krok 3. Odejmujemy stronami

Po prawej stronie ogony są identyczne, więc się znoszą:

Krok 4. Wyznaczamy x i skracamy

Sprawdzenie: 1 : 3 = 0,333… Zgadza się.

Okres ma 2 cyfry, więc mnożymy przez 100:

Licznik i mianownik dzielimy przez 9. Sprawdzenie: 3 : 11 = 0,2727…

To ułamek mieszany: przed okresem stoi cyfra 1, która się nie powtarza. Potrzebujemy dwóch liczb z takim samym ogonem 666…, dlatego najpierw przesuwamy przecinek za część nieokresową, a potem jeszcze o jeden okres.

Krok 1. Przesuwamy przecinek za część, która się nie powtarza

Krok 2. Przesuwamy jeszcze o jeden okres

Krok 3. Odejmujemy dwa równania, które mają ten sam ogon

Krok 4. Wyznaczamy x i skracamy

Sprawdzenie: 1 : 6 = 0,1666… Zgadza się.

Przed okresem jest jedna cyfra (2), a okres ma dwie cyfry (45). Przesuwamy przecinek o 1 miejsce, potem jeszcze o 2:

Licznik i mianownik dzielimy przez 9.

Część całkowitą można odłożyć na bok: 2,(5) = 2 + 0,(5). Zamieniamy 0,(5): 10x = 5,555…, x = 0,555…, więc 9x = 5 i x = 5/9. Zatem 2,(5) = 259 = 239.

3Sposób na skróty

Gdy zrobisz kilka przykładów metodą równania, zauważysz, że wyniki układają się w regułę. Warto ją znać, ale tylko jeśli rozumiesz, skąd się bierze, bo łatwo w niej pomylić liczbę dziewiątek i zer.

Dziewiątki biorą się z odejmowania: 10x − x = 9x, 100x − x = 99x. Zera biorą się z przesunięcia przecinka za część nieokresową, na przykład 100x − 10x = 90x.

4Ciekawostka: 0,(9) = 1

Zastosujmy metodę równania do 0,(9). x = 0,999…, 10x = 9,999…, więc 9x = 9 i x = 1. To nie jest przybliżenie: 0,999… z nieskończenie wieloma dziewiątkami to dokładnie 1. Można to też zobaczyć tak: 13 = 0,(3), więc 3 · 13 = 3 · 0,(3) = 0,(9), a jednocześnie 3 · ⅓ = 1.

5Kiedy ułamek zwykły daje ułamek okresowy?

Skróć ułamek i rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli w mianowniku są tylko dwójki i piątki, wyjdzie ułamek dziesiętny skończony. Jeśli jest jakikolwiek inny czynnik, wyjdzie ułamek okresowy.

W ostatnim wierszu mianownik 12 zawiera trójkę, ale po skróceniu zostaje 4, dlatego najpierw trzeba skrócić ułamek.

6Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to pisanie 0,(3) = 3/10. Ułamek 3/10 to 0,3, czyli liczba skończona, a 0,(3) to 1/3. Drugi to mnożenie przez 10, gdy okres ma dwie cyfry: trzeba wtedy mnożyć przez 100. Trzeci to przy ułamku mieszanym odejmowanie liczb, które mają różne ogony po przecinku. Czwarty to w sposobie na skróty pomylenie liczby dziewiątek i zer w mianowniku. Piąty to brak skrócenia ułamka, gdy polecenie wymaga ułamka nieskracalnego.

7Sprawdź się

Zamień samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.