✦ Matura 2026: kurs od podstaw do pełnych zadań Dołącz →
Mamy nawias podniesiony do kwadratu, a w środku różnicę dwóch składników. Chcemy zapisać to wyrażenie bez nawiasów. Pokażę dwa sposoby: ze wzoru skróconego mnożenia oraz bez wzoru, gdy go nie pamiętasz. Oba prowadzą do tego samego wyniku.
Słownie: kwadrat pierwszego składnika, minus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego, plus kwadrat drugiego składnika. Na końcu zawsze jest plus.
Patrzymy na budowę wyrażenia (x − 7)2. W nawiasie są dwa składniki połączone znakiem minus, a cały nawias jest podniesiony do kwadratu. Dokładnie tak wygląda lewa strona wzoru (a − b)2, więc korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Gdyby w nawiasie był plus, użylibyśmy wzoru na kwadrat sumy.
Pierwszy składnik w nawiasie to a, drugi to b. Do b nie dopisujemy minusa: b = 7, a minus jest już zapisany we wzorze.
Zatem a = x oraz b = 7.
W każde miejsce, gdzie we wzorze jest a, wpisujemy x, a w miejsce b wpisujemy 7. Składnik złożony z liczby i litery albo z liczby i pierwiastka bierzemy w nawias, żeby potęga objęła całość. Kolory pokazują, która część wzoru odpowiada której części zapisu.
Teraz liczymy każdy kolorowy fragment osobno.
Do kwadratu znaczy razy samo siebie, czyli x · x. Taki iloczyn zapisujemy krócej jako x2.
Mnożymy osobno liczby i osobno litery. Kolejność mnożenia nie ma znaczenia, więc czynniki możemy dowolnie poprzestawiać.
Liczby: 2 · 7 = 14.
Litera x występuje tu tylko raz, więc zostaje w pierwszej potędze.
Podnieść do kwadratu znaczy pomnożyć przez samo siebie: 7 · 7 = 49.
Wstawiamy obliczone fragmenty w miejsce kolorowych części z kroku 3:
Te trzy wyrazy są niepodobne: różnią się literami albo potęgami liter, więc nie da się ich połączyć. To jest końcowy wynik.
Wystarczy przypomnieć sobie, co znaczy „do kwadratu”: wyrażenie mnożymy przez samo siebie. Zapisujemy więc nawias dwa razy:
Teraz mnożymy nawias przez nawias metodą „każdy z każdym”: każdy składnik z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik z drugiego nawiasu. Wychodzą cztery iloczyny:
| Co mnożymy | Działanie | Wynik |
|---|---|---|
| pierwszy z pierwszym | x · x | x2 |
| pierwszy z drugim | x · (−7) | −7x |
| drugi z pierwszym | (−7) · x | −7x |
| drugi z drugim | (−7) · (−7) | 49 |
Uważaj na znaki: plus razy minus daje minus, a minus razy minus daje plus. Dlatego oba środkowe iloczyny są ujemne, a ostatni jest dodatni.
Zapisujemy wszystko razem i łączymy dwa jednakowe wyrazy środkowe:
Wynik jest taki sam jak ze wzoru. Widać też, skąd we wzorze bierze się 2ab: środkowe iloczyny są identyczne, więc pojawiają się dwa razy.
Wynik łatwo sprawdzić, podstawiając liczby za litery. Weźmy x = 2. Obie strony muszą dać to samo.
Lewa strona: (2 − 7)2 = (−5)2 = 25.
Prawa strona: 4 − 28 + 49 = 25.
Obie strony dają 25, więc rozwiązanie jest poprawne.
Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:
„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”
to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.
Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.
W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:
Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.
Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.
Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.
Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎
zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.
3–4 miesiące
4–6 tygodni
