Kiedy funkcja liniowa przyjmuje wartości niedodatnie
Pytanie „kiedy funkcja przyjmuje wartości niedodatnie” oznacza: dla jakich argumentów x wynik funkcji jest mniejszy od zera albo równy zero. Na wykresie to te x, dla których prosta leży pod osią x albo dokładnie na niej. W tym wpisie wyjaśnię, czym wartości niedodatnie różnią się od ujemnych, i rozwiążę krok po kroku dużo przykładów.
1Co znaczy „niedodatnie”
Słowo „niedodatnie” czytaj dosłownie: nie-dodatnie, czyli wszystkie liczby, które nie są dodatnie. Należą do nich liczby ujemne oraz zero. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ale na pewno nie jest dodatnie, więc jest niedodatnie.
Funkcja liniowa przyjmuje wartości niedodatnie dla tych x, które spełniają nierówność ax + b ≤ 0. Na wykresie to część prostej pod osią x razem z punktem, w którym prosta przecina oś.
| Określenie | Nierówność | Czy zero należy |
|---|---|---|
| dodatnie | f(x) > 0 | nie |
| ujemne | f(x) < 0 | nie |
| nieujemne | f(x) ≥ 0 | tak |
| niedodatnie | f(x) ≤ 0 | tak |
Różnica między wartościami ujemnymi a niedodatnimi to dokładnie jeden punkt: miejsce zerowe. Przy wartościach ujemnych go nie bierzemy, przy niedodatnich bierzemy. W zapisie widać to po nawiasie, a na wykresie po kółku.
2Jak to wygląda na wykresie
Na rysunkach różowym tłem zaznaczona jest dolna połowa układu, gdzie y < 0. Część prostej z wartościami niedodatnimi jest czerwona, a z dodatnimi szara. Gruba czerwona kreska na osi x pokazuje odpowiedź. W miejscu zerowym jest pełne kółko, bo ten punkt też należy do odpowiedzi.
Dla f(x) = 2x − 4 prosta przecina oś x w punkcie x = 2. Na lewo od niego jest pod osią, a w samym x = 2 leży na osi, bo f(2) = 0. Wartości niedodatnie są więc dla x ≤ 2, czyli x ∈ (−∞; 2⟩.
3Przepis krok po kroku
1. Zapisz nierówność ax + b ≤ 0.
2. Przenieś b na prawą stronę ze zmianą znaku: ax ≤ −b.
3. Podziel obie strony przez a. Jeśli a jest ujemne, odwróć znak: ≤ zmienia się na ≥.
4. Zapisz wynik jako przedział z nawiasem ostrym przy miejscu zerowym i sprawdź go liczbą.
| Współczynnik a | Jak wygląda prosta | Gdzie wartości niedodatnie |
|---|---|---|
| a > 0 | rośnie | x ≤ x₀, czyli (−∞; x₀⟩ |
| a < 0 | maleje | x ≥ x₀, czyli ⟨x₀; +∞) |
| a = 0, b ≤ 0 | pozioma pod osią lub na osi | dla każdego x |
| a = 0, b > 0 | pozioma nad osią | dla żadnego x |
4Przykład: f(x) = 2x − 6
Najprostszy przypadek: a dodatnie, więc funkcja rośnie i wartości niedodatnie są na lewo od miejsca zerowego, razem z nim.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
6 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: minus zmienia się w plus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 2
a = 2 jest dodatnie, więc znak ≤ zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 1: f(1) = 2 · 1 − 6 = −4, wynik ujemny, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(3) = 0, a 0 ≤ 0, więc x = 3 należy do odpowiedzi.
5Przykład: f(x) = −4x + 8
Współczynnik a jest ujemny, więc funkcja maleje. Wartości niedodatnie będą na prawo od miejsca zerowego. Uważaj na krok 3.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
8 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −4
a = −4 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≤ zmienia się na ≥.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 4: f(4) = −4 · 4 + 8 = −8, wynik ujemny, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(2) = 0, a 0 ≤ 0, więc x = 2 należy do odpowiedzi.
6Przykład: f(x) = 13x + 1
Współczynnik a jest ułamkiem. W kroku 3 dzielimy przez ułamek, czyli mnożymy przez jego odwrotność.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
1 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 13
a = 13 jest dodatnie, więc znak ≤ zostaje bez zmian. Dzielenie przez ułamek 13 to mnożenie przez jego odwrotność, czyli przez 3.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = −5: f(−5) = 13 · (−5) + 1 = −23, wynik ujemny, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(−3) = 0, a 0 ≤ 0, więc x = −3 należy do odpowiedzi.
7Przykład: f(x) = −x − 2
Dwa minusy: a = −1 i b = −2. Funkcja maleje, więc odpowiedź będzie na prawo od miejsca zerowego.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
2 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: minus zmienia się w plus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −1
a = −1 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≤ zmienia się na ≥.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 0: f(0) = −1 · 0 − 2 = −2, wynik ujemny, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(−2) = 0, a 0 ≤ 0, więc x = −2 należy do odpowiedzi.
8Przykład: f(x) = −34x + 3
Ujemny ułamek. Odwracamy znak i mnożymy przez odwrotność ułamka.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
3 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −34
a = −34 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≤ zmienia się na ≥. Dzielenie przez −34 to mnożenie przez −43.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 6: f(6) = −34 · 6 + 3 = −32, wynik ujemny, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(4) = 0, a 0 ≤ 0, więc x = 4 należy do odpowiedzi.
9Przykład: f(x) = −2x
Tu b = 0, więc prosta przechodzi przez początek układu, a miejscem zerowym jest x = 0.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
Wyraz wolny b = 0, więc nie ma czego przenosić.
Krok 3. Dzielimy przez a = −2
a = −2 jest ujemne, więc odwracamy znak: ≤ zmienia się na ≥.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Liczba z przedziału, na przykład x = 2: f(2) = −2 · 2 = −4, wynik ujemny, więc się zgadza. Sprawdzamy też samo miejsce zerowe: f(0) = 0, a 0 ≤ 0, więc x = 0 należy do odpowiedzi.
10Ujemne czy niedodatnie: porównanie
Weźmy tę samą funkcję f(x) = −4x + 8 i porównajmy odpowiedzi na dwa pytania.
| Pytanie | Nierówność | Wynik | Przedział |
|---|---|---|---|
| wartości ujemne | −4x + 8 < 0 | x > 2 | (2; +∞) |
| wartości niedodatnie | −4x + 8 ≤ 0 | x ≥ 2 | ⟨2; +∞) |
Rachunek jest identyczny, zmienia się tylko jeden znak i jeden nawias. Liczba 2 należy do drugiej odpowiedzi, bo f(2) = 0, a zero jest niedodatnie.
11Funkcja stała
Gdy a = 0, funkcja ma postać f(x) = b. Tu właśnie widać różnicę między „ujemne” a „niedodatnie”.
| Funkcja | Wartości ujemne | Wartości niedodatnie |
|---|---|---|
| f(x) = −1 | x ∈ ℝ | x ∈ ℝ |
| f(x) = 0 | x ∈ ∅ | x ∈ ℝ |
| f(x) = 2 | x ∈ ∅ | x ∈ ∅ |
Funkcja f(x) = 0 nigdy nie jest ujemna, ale zawsze jest niedodatnia, bo każda jej wartość wynosi 0, a 0 ≤ 0. Jej wykres to sama oś x.
12Odczytywanie z wykresu
Prosta przecina oś x w punkcie x = −4. Na prawo od niego jest pod osią, a w samym x = −4 na osi. Dlatego odpowiedzią są wszystkie x ≥ −4.
Potwierdzenie rachunkiem: b = −2, a schodek to 2 w prawo i 1 w dół, więc a = −½. Nierówność −½x − 2 ≤ 0 daje −½x ≤ 2, a po pomnożeniu przez −2 i odwróceniu znaku x ≥ −4.
13Zadanie typu maturalnego: wzór z dwóch punktów
Krok 1. Liczymy współczynnik a
a = −1 − 72 − (−2) = −84 = −2.
Krok 2. Liczymy b
Wstawiamy punkt B: −1 = −2 · 2 + b, więc b = 3. Wzór funkcji: f(x) = −2x + 3.
Krok 3. Rozwiązujemy nierówność
Dzielimy przez −2, więc ≤ zmienia się na ≥. 32 to 1,5.
14Zadanie z życia: kiedy firma nie zarabia
„Nie ma zysku” oznacza, że zysk jest ujemny (strata) albo równy zero (wyjście na zero). To właśnie wartości niedodatnie: Z(x) ≤ 0.
Przy 30 zestawach zysk wynosi dokładnie 0, a przy mniejszej liczbie firma ponosi stratę. Zestawów nie może być mniej niż zero, więc odpowiedź to od 0 do 30 zestawów.
15Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to nawias okrągły zamiast ostrego przy miejscu zerowym, czyli zgubienie jednego punktu odpowiedzi. Drugi to brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną, przez co przedział wychodzi po złej stronie. Trzeci to nawias ostry przy nieskończoności, a przy ∞ zawsze stoi nawias okrągły. Czwarty to mylenie „niedodatnie” z „nieujemne”: niedodatnie to ≤ 0, a nieujemne to ≥ 0.
16Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć odpowiedź i wykres.
1. Kiedy funkcja f(x) = x − 3 przyjmuje wartości niedodatnie?
x ∈ (−∞; 3⟩
2. Kiedy funkcja f(x) = −2x + 8 przyjmuje wartości niedodatnie?
x ∈ ⟨4; +∞)
3. Kiedy funkcja f(x) = 13x + 2 przyjmuje wartości niedodatnie?
x ∈ (−∞; −6⟩
4. Kiedy funkcja f(x) = −x przyjmuje wartości niedodatnie?
x ∈ ⟨0; +∞)
5. Kiedy funkcja f(x) = 5x − 10 przyjmuje wartości niedodatnie?
x ∈ (−∞; 2⟩
6. Kiedy funkcja f(x) = −12x − 2 przyjmuje wartości niedodatnie?
x ∈ ⟨−4; +∞)
