Kiedy funkcja liniowa przyjmuje wartości ujemne
Pytanie „kiedy funkcja przyjmuje wartości ujemne” oznacza: dla jakich argumentów x wynik funkcji jest mniejszy od zera. Na wykresie to te x, dla których prosta leży pod osią x. W tym wpisie pokażę, jak to wyznaczyć rachunkiem i z wykresu, i rozwiążę krok po kroku dużo przykładów. Najwięcej uwagi poświęcam przypadkowi z ujemnym współczynnikiem a, bo to tam najłatwiej o błąd.
1Co to znaczy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne
Wartość funkcji to y, czyli wynik, który wychodzi po wstawieniu x do wzoru. Wartość ujemna to taka, która jest mniejsza od zera, na przykład −1, −0,5 albo −100. Szukamy więc wszystkich x, dla których f(x) < 0.
Funkcja liniowa przyjmuje wartości ujemne dla tych x, które spełniają nierówność ax + b < 0. Na wykresie to część prostej pod osią x.
Dla porządku pozostałe określenia: wartości dodatnie to f(x) > 0, czyli część prostej nad osią x. Wartości niedodatnie to f(x) ≤ 0, czyli pod osią razem z punktem na osi. Wartości nieujemne to f(x) ≥ 0.
2Jak to wygląda na wykresie
Na rysunkach w tym wpisie różowym tłem zaznaczona jest dolna połowa układu, gdzie y < 0. Część prostej, w której funkcja jest ujemna, jest czerwona, a część, w której jest dodatnia, szara. Gruba czerwona kreska na osi x pokazuje odpowiedź, czyli zbiór szukanych argumentów. Granicą jest miejsce zerowe x₀, w którym prosta przecina oś x.
Przy funkcji f(x) = 2x − 4 prosta przecina oś x w punkcie x = 2. Na lewo od niego prosta jest pod osią, więc funkcja jest ujemna dla x < 2. Kółko w miejscu zerowym jest puste, bo w samym x = 2 wartość wynosi 0, a zero nie jest liczbą ujemną.
3Przepis krok po kroku
1. Zapisz nierówność ax + b < 0.
2. Przenieś b na prawą stronę ze zmianą znaku: ax < −b.
3. Podziel obie strony przez a. Jeśli a jest ujemne, odwróć znak nierówności.
4. Zapisz wynik jako przedział i sprawdź go dowolną liczbą z przedziału.
| Współczynnik a | Jak wygląda prosta | Gdzie wartości ujemne |
|---|---|---|
| a > 0 | rośnie | na lewo od miejsca zerowego: x < x₀ |
| a < 0 | maleje | na prawo od miejsca zerowego: x > x₀ |
| a = 0, b < 0 | pozioma pod osią | dla każdego x |
| a = 0, b ≥ 0 | pozioma na osi lub nad nią | dla żadnego x |
Łatwo to zapamiętać: wartości ujemne są zawsze po przeciwnej stronie miejsca zerowego niż wartości dodatnie. Jeśli wiesz, gdzie funkcja jest dodatnia, reszta osi (bez miejsca zerowego) to wartości ujemne.
4Przykład: f(x) = −3x + 6
Współczynnik a jest ujemny, czyli funkcja maleje. Wartości ujemne będą więc na prawo od miejsca zerowego. Patrz uważnie na krok 3.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
6 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −3
a = −3 jest ujemne, więc odwracamy znak nierówności: < zmienia się na >.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 4: f(4) = −3 · 4 + 6 = −6. Wyszła liczba ujemna, więc wynik się zgadza.
5Przykład: f(x) = 12x + 1
Współczynnik a jest ułamkiem. Rachunek wygląda tak samo, tylko w kroku 3 dzielimy przez ułamek, czyli mnożymy przez jego odwrotność.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
1 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 12
a = 12 jest dodatnie, więc znak nierówności zostaje bez zmian. Dzielenie przez ułamek 12 to mnożenie przez jego odwrotność, czyli przez 2.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = −4: f(−4) = 12 · (−4) + 1 = −1. Wyszła liczba ujemna, więc wynik się zgadza.
6Przykład: f(x) = −x − 3
Dwa minusy: a = −1 i b = −3. Funkcja maleje, więc wartości ujemne będą na prawo od miejsca zerowego.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
3 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: minus zmienia się w plus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −1
a = −1 jest ujemne, więc odwracamy znak nierówności: < zmienia się na >.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = −1: f(−1) = −1 · (−1) − 3 = −2. Wyszła liczba ujemna, więc wynik się zgadza.
7Przykład: f(x) = −23x + 2
Ujemny ułamek. Odwracamy znak i mnożymy przez odwrotność ułamka.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
2 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = −23
a = −23 jest ujemne, więc odwracamy znak nierówności: < zmienia się na >. Dzielenie przez −23 to mnożenie przez −32.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = 5: f(5) = −23 · 5 + 2 = −43. Wyszła liczba ujemna, więc wynik się zgadza.
8Przykład: f(x) = 3x
Tu b = 0, więc prosta przechodzi przez początek układu, a miejscem zerowym jest x = 0.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
Wyraz wolny b = 0, więc nie ma czego przenosić.
Krok 3. Dzielimy przez a = 3
a = 3 jest dodatnie, więc znak nierówności zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = −2: f(−2) = 3 · (−2) + 0 = −6. Wyszła liczba ujemna, więc wynik się zgadza.
9Przykład: f(x) = 4x + 8
Tym razem pytamy o wartości niedodatnie, czyli f(x) ≤ 0. Różnica jest tylko jedna: miejsce zerowe też należy do odpowiedzi, bo 0 jest liczbą niedodatnią.
Krok 1. Zapisujemy nierówność
Krok 2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę
8 przenosimy na drugą stronę ze zmianą znaku: plus zmienia się w minus.
Krok 3. Dzielimy przez a = 4
a = 4 jest dodatnie, więc znak nierówności zostaje bez zmian.
Krok 4. Sprawdzamy i rysujemy
Bierzemy liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład x = −4: f(−4) = 4 · (−4) + 8 = −8. Wyszła liczba ujemna, więc wynik się zgadza.
10Funkcja stała
Gdy a = 0, funkcja ma postać f(x) = b i jej wykres jest poziomy. Wszystko zależy od znaku b.
Dla f(x) = −4 każda wartość wynosi −4, a −4 < 0, więc funkcja przyjmuje wartości ujemne dla każdego x: x ∈ ℝ.
Dla f(x) = 3 każda wartość wynosi 3, więc funkcja nigdy nie jest ujemna: zbiór szukanych argumentów jest pusty, x ∈ ∅. Dla f(x) = 0 też nie, bo 0 nie jest liczbą ujemną.
11Odczytywanie z wykresu
Szukasz miejsca, w którym prosta przecina oś x, i patrzysz, po której stronie tego punktu prosta jest pod osią. Tutaj prosta przecina oś x w punkcie x = −3 i jest pod osią na lewo od niego.
Potwierdzenie rachunkiem: prosta przechodzi przez (0, 3), więc b = 3, a z każdym krokiem w prawo rośnie o 1, więc a = 1. Nierówność x + 3 < 0 daje x < −3.
12Zadanie typu maturalnego: wzór z dwóch punktów
Krok 1. Liczymy współczynnik a
Współczynnik a to zmiana y podzielona przez zmianę x: a = 1 − (−5)2 − (−1) = 63 = 2.
Krok 2. Liczymy b
Wstawiamy punkt B do wzoru y = 2x + b: 1 = 2 · 2 + b, więc b = −3. Wzór funkcji: f(x) = 2x − 3.
Krok 3. Rozwiązujemy nierówność
Dzielimy przez 2, czyli liczbę dodatnią, więc znak zostaje. 32 to 1,5.
13Zadanie z życia: kiedy będzie mróz
Temperatura ujemna to T(t) < 0, czyli mróz. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o odwróceniu znaku przy dzieleniu przez −2.
Po dokładnie 4 godzinach, czyli o 22:00, temperatura wynosi 0°C. Mróz zaczyna się zaraz potem, więc temperatura jest ujemna po 22:00.
14Najczęstsze błędy
Najczęstszy błąd to brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. Wtedy przedział wychodzi z niewłaściwej strony miejsca zerowego. Przed zapisaniem odpowiedzi wstaw jedną liczbę z przedziału do wzoru: musi wyjść wynik ujemny. Drugi błąd to dopisywanie miejsca zerowego do odpowiedzi przy wartościach ujemnych, choć wartość w tym punkcie to 0. Trzeci to automatyczne przyjmowanie, że wartości ujemne są zawsze „na lewo”. Tak jest tylko dla funkcji rosnącej, czyli przy a > 0.
15Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć odpowiedź i wykres.
1. Kiedy funkcja f(x) = x − 3 przyjmuje wartości ujemne?
x ∈ (−∞; 3)
2. Kiedy funkcja f(x) = −2x + 8 przyjmuje wartości ujemne?
x ∈ (4; +∞)
3. Kiedy funkcja f(x) = 13x + 2 przyjmuje wartości ujemne?
x ∈ (−∞; −6)
4. Kiedy funkcja f(x) = −x przyjmuje wartości ujemne?
x ∈ (0; +∞)
5. Kiedy funkcja f(x) = 5x − 10 przyjmuje wartości ujemne?
x ∈ (−∞; 2)
6. Kiedy funkcja f(x) = −12x − 2 przyjmuje wartości ujemne?
x ∈ (−4; +∞)
