Rozwiń wyrażenie (5x + 2)2
Mamy nawias podniesiony do kwadratu, a w środku nawiasu sumę dwóch składników. Naszym zadaniem jest „pozbyć się” nawiasu, czyli zapisać to wyrażenie bez potęgi nad nawiasem. Pokażę dwa sposoby: ze wzoru skróconego mnożenia oraz bez wzoru, gdy go nie pamiętasz. Oba dają ten sam wynik.
Słownie: kwadrat pierwszego składnika, plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego, plus kwadrat drugiego składnika.
1Rozpoznajemy, który to wzór
Patrzymy na budowę wyrażenia (5x + 2)2. W nawiasie są dwa składniki połączone znakiem plus, a cały nawias jest podniesiony do kwadratu. Dokładnie tak wygląda lewa strona wzoru (a + b)2, więc korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Gdyby w nawiasie był minus, użylibyśmy wzoru na kwadrat różnicy.
2Ustalamy, co jest a, a co b
Pierwszy składnik w nawiasie to a, drugi to b. Ważne: a to całe 5x, razem z liczbą, a nie samo x.
Zatem a = 5x oraz b = 2.
3Podstawiamy do wzoru
W każde miejsce, gdzie we wzorze jest a, wpisujemy 5x (w nawiasie, żeby potęga objęła całość), a w miejsce b wpisujemy 2. Kolory pokazują, która część wzoru odpowiada której części zapisu.
Teraz liczymy każdy kolorowy fragment osobno.
4Liczymy a2 = (5x)2
Podnieść do kwadratu znaczy pomnożyć przez samo siebie. Zapisujemy więc 5x dwa razy i mnożymy:
Liczby mnożymy z liczbami: 5 · 5 = 25. Literę mnożymy z literą: x · x = x2. Kwadrat obejmuje cały nawias, czyli zarówno liczbę, jak i literę.
5Liczymy 2ab = 2 · 5x · 2
To jest iloczyn trzech czynników. Kolejność mnożenia nie ma znaczenia, więc najpierw mnożymy wszystkie liczby, a x dopisujemy na końcu:
Liczymy krok po kroku: 2 · 5 = 10, a potem 10 · 2 = 20. Litera x występuje tu tylko raz, więc zostaje w pierwszej potędze: 20x.
6Liczymy b2 = 22
Znów: do kwadratu znaczy razy samo siebie, czyli 2 · 2 = 4 (a nie 2 · 2 = 2 + 2 — tu akurat wynik się zgadza, ale przy innych liczbach już nie).
7Składamy wynik
Wstawiamy obliczone fragmenty w miejsce kolorowych części z kroku 3:
Nie da się już niczego dodać, bo 25x2, 20x i 4 to wyrazy niepodobne (z x2, z x i bez x). To jest końcowy wynik.
?Co zrobić, gdy nie pamiętasz wzoru?
Wystarczy przypomnieć sobie, co znaczy „do kwadratu”: wyrażenie mnożymy przez samo siebie. Zapisujemy więc nawias dwa razy:
Teraz mnożymy nawias przez nawias metodą „każdy z każdym”: każdy składnik z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik z drugiego nawiasu. Wychodzą cztery iloczyny:
| Co mnożymy | Działanie | Wynik |
|---|---|---|
| pierwszy z pierwszym | 5x · 5x | 25x2 |
| pierwszy z drugim | 5x · 2 | 10x |
| drugi z pierwszym | 2 · 5x | 10x |
| drugi z drugim | 2 · 2 | 4 |
Zapisujemy wszystko razem i redukujemy wyrazy podobne, czyli dodajemy do siebie te z samym x:
Wynik jest identyczny jak ze wzoru. Widać też, skąd we wzorze bierze się 2ab: środkowe iloczyny 5x · 2 i 2 · 5x są takie same, więc pojawiają się dwa razy. Dlatego we wzorze jest „dwa razy a razy b”.
!Najczęstszy błąd
✓Sprawdzenie
Wynik łatwo sprawdzić, podstawiając dowolną liczbę za x, na przykład x = 1. Obie strony muszą dać to samo.
Wyrażenie wyjściowe: (5 · 1 + 2)2 = 72 = 49.
Nasz wynik: 25 · 12 + 20 · 1 + 4 = 25 + 20 + 4 = 49.
Obie strony dają 49, więc rozwiązanie jest poprawne.
Powiązane tematy
- Teoria do tego zadaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- Więcej zadańZadania z rozwiązaniami krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
