Po prostu blog

Potężna dawka matematycznej wiedzy

Cechy podzielności liczb.

mj. 5, 2021 | Szkoła podstawowa

Oh… ile to razy Ciebie zapytali, jakie liczby dzielą się przez 2? A jakie przez 5? A jakie przez 11? Część zasad się pamięta, ale nie które są zakręcone jak świński ogonek. W matematyce jeśli mówimy o zasadach związanych z dzieleniem, mamy na myśli cechy podzielności liczb.

Cechy podzielności liczb czyli co to jest? I dlaczego warto sobie tym głowę zaprzątać?

Jak wiesz przy dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu, dzieleniu zawsze można zauważyć jakąś zasadę, jakąś prawidłowość. Na przykład jeśli dodaje cały czas 1 to otrzymuje kolejne liczby, jeśli dodaje cały czas 2 to otrzymuje co drugą liczbę. I tutaj właśnie przychodzą mądre głowy matematyczne, które zauważyły kilka zasad jeśli chodzi o dzielenie. Te zasady to właśnie cechy podzielności. Brzmią one czasem jak wypowiadane zaklęcie w Harrym Poterze, aleeee to ma sens. Serio!

Może wolisz od razu przeskoczyć do konkretnej liczby? Kliknij w liczbę i przenieść się sprawdzić kiedy możemy przez nią dzielić:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i dodatek.

Zaczniemy od liczby 2.

Cechy podzielności przez 2.

Liczba jest podzielna przez 2, gdy jest liczbą parzystą, czyli jej ostatnią cyfrą jest: 0,2,4,6,8.

Jeszcze raz liczba parzysta jest ZAWSZE podzielna przez 2.

ZAWSZE, ZAWSZE, ZAWSZE!

Nie ma wyjątku.

ZAWSZE!

Przykłady kiedy liczba JEST podzielna przez 2.

  • 128 jest podzielne przez 2, ponieważ ostatnia cyfra tej liczby to 8 a 8 jest liczbą parzystą, więc 128 dzieli się przez 2.
  • 4095876 jest podzielne przez 2, ponieważ ostatnia cyfra tej liczby to 6, a 6 jest liczbą parzystą, więc 4095876 dzieli się przez 2.

Przykłady kiedy liczba NIE JEST podzielna przez 2.

  • 121 jest nie podzielne przez 2, ponieważ ostatnia cyfra tej liczby to 1 a 1 nie jest liczbą parzystą, więc 128 dzieli się przez 2.
  • 4095875 jest nie podzielne przez 2, ponieważ ostatnia cyfra tej liczby to 5, a 5 nie jest liczbą parzystą więc 4095876 dzieli się przez 2.

Jeśli nadal to masz za mało przykładów zerknij tutaj KLIK. Tam jest wpis poświęcony w całości podzielności liczb przez 2, 4, 8, bo one działają na podobnej zasadzie :).

Cechy podzielności przez 3.

Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.

I tyle nic więcej.

Przykłady kiedy liczba JEST podzielna przez 3.

  • 96 jest podzielne przez 3, ponieważ 9+6=15, a 15 jest podzielne przez 3.
  • 4566 jest podzielne przez 3, ponieważ 4+5+6+6=21, a 21 jest podzielne przez 3.

Przykłady kiedy liczba NIE JEST podzielna przez 3.

  • 23 nie jest podzielne przez 3, ponieważ 2+3=5, a 5 nie jest podzielne przez 3.
  • 7571 nie jest podzielne przez 3, ponieważ 7+5+7+1=20, a 20 nie jest podzielne przez 3.

Brakuje Tobie przykładów do przećwiczenia? To zrób skok w ten wpis TUTAJ KLIK, tam znajdziesz duuuużo przykładów kiedy dana liczba dzieli się przez 3, a jaka się nie dzieli przez 3 i co najważniejsze dlaczego tak! Niestety tutaj nie mogę wrzucić wszystkiego tak jakbym chciała bo wpis miałby 3km.

Cechy podzielności przez 4.

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 4 to: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.

Jak zobaczysz liczbę, która na końcu ma którąś z tych liczb wypisanych powyżej to znaczy, że jest podzielna przez 4.

Przykłady kiedy liczba JEST podzielna przez 4.

  • 124, jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to 24, a 24 jest liczbą podzielną przez 4.
  • 3456788 jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to 88, a 88 jest liczbą podzielną przez 4.

Przykłady kiedy liczba NIE JEST podzielna przez 4.

  • 125, NIE jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to 25, a 25 NIE jest liczbą podzielną przez 4.
  • 3456789 NIE jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to 89, a 89 NIE jest liczbą podzielną przez 4.

Mało przykładów zerknij tutaj KLIK. Jest to wpis tylko i wyłącznie na temat podzielności liczb przez 2, 4, 8.

Cechy podzielności przez 5.

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

I tyle nic więcej tutaj nie jestem wstanie napisać 😉

Cechy podzielności przez 6.

Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna przez 2 i przez 3.

Tutaj pamiętamy o:

  • własnościach liczb podzielnych przez 2 – są to liczby parzyste ( jeśli chcesz jeszcze raz powtórzyć to kliknij TUTAJ),
  • własnościach liczb podzielnych przez 3 – suma cyfr liczby jest podzielna przez 3 ( jeśli chcesz jeszcze raz powtórzyć to kliknij TUTAJ).

I te dwa podpunkty musi spełniać liczba, która jest podzielna przez 6: jest parzysta i suma jej cyfr dzieli się przez 3.

Cechy podzielności przez 7.

Liczba jest podzielna przez 7, gdy różnica między liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) dzieli się przez 7.

Cechy podzielności przez 8.

Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8.

Przykłady kiedy liczba JEST podzielna przez 8.

  • 125, NIE jest podzielna przez 8, ponieważ jej trzy ostatnie cyfry to 125, a 125 NIE jest liczbą podzielną przez 8. Dobre, co? 😀
    • To teraz jeszcze jeden sposób jak się upewnić bez zapamiętywania listy ze wszystkimi liczbami trzycyfrowymi, że dana liczba dzieli się lub nie przez 8.
      • Liczbę musimy zamienić na sumę dwóch lub trzech innych liczb, tak by było łatwiej nam zobaczyć czy dana liczba dzieli się przez 8.
      • Popatrz na nasz przykład liczba 125. Wiesz, że 80 dzieli się przez 8. To teraz zapiszmy liczbę 125 jako sumę 80 i 45
      • 125=80+45. Liczba 80 dzieli się przez 8, ale liczba 45 nie, dlatego liczba 125 nie jest podzielna przez 8.
      • Dodatkowo spójrz liczba 125 ma 5 na końcu, czyli nie jest parzysta. To od razu nam mówi o tym, że ta liczba nie będzie podzielna przez 8.
  • 980912 jest podzielna przez 8, ponieważ jej trzy ostatnie cyfry to 912, a 912 jest liczbą podzielną przez 8.
    • Aleee no dobra… znów… kto by pamiętał całą tabelę z liczbami trzycyfrowymi podzielnymi przez 8… Ja na pewno nie. (BTW tą listę możesz zobaczyć tutaj: KLIK)
    • Wiemy, że nie pamiętamy tej listy, to jak to zrobić? jak to sprawdzić?
    • Zamieniamy 912 na sumę liczb, które wiemy, że się dzielą przez 8.
    • 912=800+112=800+80+32
    • I teraz każdą liczbę z tej sumy sprawdzamy czy dzieli się przez 8.
    • 800, tak jest podzielna przez 8, 800/8 = 100.
    • 80, tak jest podzielna przez 8, 80/8 = 10.
    • 32, tak jest podzielna przez 8, 32/8 = 4.
    • I dzięki temu mogę stwierdzić, że liczba 912 jest podzielna przez 8, to 980912 również jest podzielne przez 8.

Potrzebujesz więcej przykładów z tą 8? Skocz TUTAJ.

Przykłady kiedy liczba NIE JEST podzielna przez 8.

Cechy podzielności przez 9.

Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9.

Przykłady kiedy liczba JEST podzielna przez 9.

Przykłady kiedy liczba NIE JEST podzielna przez 9.

Cechy podzielności przez 10.

Liczba jest podzielna przez 10, gdy liczba zakończona jest na 0.

Cechy podzielności przez 11.

Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest podzielna przez 11.

O mnie

Zgodnie z moją teorią, matematyki może się nauczyć każdy, wystarczy trochę praktyki. Podobnie jak z jazdą na rowerze czy graniem w gry 🙂 im częściej to robisz tym jest łatwiej np. przejść kolejny poziom. Matematyka działa tak samo, im więcej masz praktyki w liczeniu, tym mniej może Ciebie zaskoczyć. Po prostu licz!

Więcej o mnie…